Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=25$

Vì $AH\perp BC\to S_{ABC}=\dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12AB\cdot AC$

$\to AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=12$

Do $HD\perp AB, HE\perp AC, AB\perp AC\to ADHE$ là hình chữ nhật

$\to DE=AH=12$

b.Xét $\Delta AHD,\Delta ABH$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ADH}=\widehat{AHB}(=90^o)$

$\to\Delta ADH\sim\Delta AHB(g.g)$

$\to \dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH^2=AD\cdot AB$

Tương tự $AH^2=AE\cdot AC$

$\to AD\cdot AB=AE\cdot AC$

c.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, I$ là trung điểm $BC\to IA=IB=IC=\dfrac12BC$

$\to \Delta IAC$ cân tại $I$

Gọi $AI\cap DE=F$

Vì $ADHE$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{FAE}=\widehat{IAC}=\widehat{ICA}=\hat C=90^o-\hat B=\widehat{BAH}=\widehat{DAH}=\widehat{ADE}$ 

Do $\widehat{AEF}=\widehat{ED}$

$\to \Delta EAF\sim\Delta EDA(g.g)$

$\to \widehat{AFE}=\widehat{EDA}=90^o$

$\to IA\perp DE$

d.Ta có:

$MN^2=AM^2+AN^2=AM^2+BM^2$ vì $BM=AN$

Mà $AM^2+BM^2\ge \dfrac12(AM+BM)^2=\dfrac12AB^2$

$\to MN^2\ge \dfrac12AB^2$

$\to MN\ge \dfrac{AB}{\sqrt2}$

$\to$Giá trị nhỏ nhất của $MN$ là $\dfrac{AB}{\sqrt2}$

Khi đó $AM=BM\to M$ là trung điểm $AB$