Giải thích các bước giải:

a,

\(p + 1;\,\,p + 2;\,\,p + 3\) là các số tự nhiên liên tiếp

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại ít nhất 1 số chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên để 3 số đó đều là số nguyên tố thì có 1 số bằng 2.

3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số bằng 2 là \(1;2;3\) hoặc \(\left( {2;3;4} \right)\)

Cả 2 bộ số trên đều không thỏa mãn vì 1 và 4 không là số nguyên tố.

Do đó không có số tự nhiên p nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b,

TH1:  \(p = 3 \Rightarrow p + 10 = 13;\,\,\,p + 14 = 17\)

Suy ra \(p + 10;\,\,\,\,p + 14\) đều là các số nguyên tố.

Suy ra \(p = 3\) thỏa mãn.

TH2:  \(p \ne 3\)

p là số nguyên tố nên p có 1 trong 2 dạng \(3k + 1;\,\,\,\,3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in N} \right)\)

\(\begin{array}{l}
p + 10 > 3;\,\,\,\,p + 14 > 3\\
*)\,\,\,\,p = 3k + 1 \Rightarrow p + 14 = \left( {3k + 1} \right) + 14 = 3k + 15 = 3.\left( {k + 5} \right)\,\, \vdots \,\,3\\
*)\,\,\,\,p = 3k + 2 \Rightarrow p + 10 = \left( {3k + 2} \right) + 10 = 3k + 12 = 3.\left( {k + 4} \right)\,\, \vdots \,\,3
\end{array}\)

Suy ra \(p + 10;\,\,\,\,p + 14\) đều không phải là các số nguyên tố.

Vậy \(p = 3\)

Đáp án:

câu a không có số tự nhiên p nào thỏa mãn yêu cầu 

 câu b  p=3

Giải thích các bước giải:

câu a

p+1;p+2;p+3p+1;p+2;p+3 là các số tự nhiên liên tiếp

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại ít nhất 1 số chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên để 3 số đó đều là số nguyên tố thì có 1 số bằng 2.

3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số bằng 2 là 1;2;31;2;3 hoặc (2;3;4)(2;3;4)

Cả 2 bộ số trên đều không thỏa mãn vì 1 và 4 không là số nguyên tố.

Do đó không có số tự nhiên p nào thỏa mãn yêu cầu 

câu b

TH1:  p=3⇒p+10=13;p+14=17p=3⇒p+10=13;p+14=17

Suy ra p+10;p+14p+10;p+14 đều là các số nguyên tố.

Suy ra p=3p=3 thỏa mãn.

TH2:  p≠3p≠3

p là số nguyên tố nên p có 1 trong 2 dạng 3k+1;3k+2(k∈N)3k+1;3k+2(k∈N)

p+10>3;p+14>3∗)p=3k+1⇒p+14=(3k+1)+14=3k+15=3.(k+5)⋮3∗)p=3k+2⇒p+10=(3k+2)+10=3k+12=3.(k+4)⋮3p+10>3;p+14>3∗)p=3k+1⇒p+14=(3k+1)+14=3k+15=3.(k+5)⋮3∗)p=3k+2⇒p+10=(3k+2)+10=3k+12=3.(k+4)⋮3

Suy ra p+10;p+14p+10;p+14 đều không phải là các số nguyên tố.

Vậy p=3