Đáp án:

${R_b} = 12\Omega $ 

Giải thích các bước giải:

Điện trở tương đương của đoạn mạch là:
${R_{td}} = R + {R_b} = 12 + {R_b}$

Cường độ dòng điện qua biến trở là:

${I_b} = {I_m} = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{R + {R_b}}} = \dfrac{{12}}{{12 + {R_b}}}$

Công suất qua biến trở là:
${P_b} = {I_b}^2.{R_b} = \dfrac{{{{12}^2}.{R_b}}}{{{{\left( {12 + {R_b}} \right)}^2}}} = \dfrac{{144}}{{{{\left( {\dfrac{{12}}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} } \right)}^2}}}$

Để công suất đó đạt giá trị cực đại Max thì ${{{\left( {\dfrac{{12}}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} } \right)}^2}}$ Min nên:

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm ${\dfrac{{12}}{{\sqrt {{R_b}} }}}$ và ${\sqrt {{R_b}} }$ ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{12}}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}}  \ge 2\sqrt {\dfrac{{12}}{{\sqrt {{R_b}} }}.\sqrt {{R_b}} }  = 2\sqrt {12} \\
 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{12}}{{\sqrt {{R_b}} }} + \sqrt {{R_b}} } \right)^2} \ge {\left( {2\sqrt {12} } \right)^2} = 48
\end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\dfrac{{12}}{{\sqrt {{R_b}} }} = \sqrt {{R_b}}  \Leftrightarrow {R_b} = 12\Omega $