Gọi KO∩AB={M}
       KO∩CD={N}
Vì tứ giác ABCD là hình thang (gt)

`->`AB//CD

mà  KO∩AB={M}
       KO∩CD={N}

`->`$\left \{ {{AM//DC//NC//CD} \atop {MB/DN//NC//CD}} \right.$ 

Xét ΔKDN có AM//DN(cmt)

`->``(MA)/(ND)` `=` `(KM)/(KN)` (hệ quả định lí Talet)(1)
Xét ΔKBN có MB//ND (cmt)

`->``(MBB)/(NC)` `=` `(KM)/(KN)` (hệ  quả của định lí Talet)(2)
Từ (1)(2)`->``(MA)/(ND)` `=` `(MB)/(NC)` (3)

Xét ΔONC có AM//NC(cmt)

`->``(MA)/(NC)` `=` `(OM)/(ON)` (hệ quả định lí Talet)(4)
Xét ΔOND có DN//MB(cmt)

`->``(MB)/(ND)` `=` `(OM)/(ON)` (hệ quả định lí Talet)(5)
Từ (4)(5)`->``(MA)/(NC)` `=` `(MB)/(ND)` (6)
Nhân từng vế của (1) với (6) ta được:
`(MA.MA)/(ND.NC)` `=` `(MB.MB)/(NC.ND)`

`->`MA²=MB²

`->`MA=MB

`->`M là trung điểm AB

Lại có: `(MA)/(ND)` `=` `(MB)/(NC)`(cmt)

`->``(MA)/(ND)` `=` `(MA)/(NC)`

`->`ND=NC
`->`N là trung điểm CD
Vậy OK đi qua trung điểm M,N của AB và CD

Đáp án : MN là trung điểm của AB và CD

Giải thích các bước giải :

Tam giác KDN có AM//DN(A e KD, M e KN= AM/DM=KM/KN.

Tam giác KCN có BM//CN\( M e KN, B e KC)=MB/NC=KM/KN

Tam giác CNO có AM//NC(A e OC, M e ON)= AM/CN=OM/ON

Tam giác DON có MB//ND(M e ON, B e OD)=MB/ND=OM/ON

Vậy ta suy ra DN/CN=CN/DN=CN=DN=AM=MB