Đáp án:

`Max_C=\sqrt{2}` khi `(x;y)=(3/2;5/2)`

Giải thích các bước giải:

ĐKXD: `x>=1;y>=2`

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:

`\sqrt{x}+\sqrt{y}<=\sqrt{2(x+y)}`

`-> x+y+2\sqrt{xy}<=2(x+y)`

`->x+y-2\sqrt{xy}>=0`

`->(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2>=0` (luôn đúng)

Dấu `=` xảy ra khi `x=y`

`->`Bất đẳng thức cần chứng minh đúng

Áp dụng điều đó vào bài, ta có:

`\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}<=\sqrt{2(x-1+y-2)}=\sqrt{2(x+y-3)}=\sqrt{2(4-3)}=\sqrt{2}` 

`->C<=\sqrt{2}`

Dấu `=` xảy ra khi 

\begin{cases} x-1=y-2 \\ x+y=4 \end{cases} `-> ` \begin{cases} x-y=-1 \\ x+y=4 \end{cases} `-> ` \begin{cases} x-y+x+y=-1+4 \\ x-y=-1 \end{cases} `-> ` \begin{cases} 2x=3 \\   x-y=-1 \end{cases} `-> ` \begin{cases} x=\dfrac{3}{2} \\ y=\dfrac{5}{2} \end{cases} `->(x;y)=(3/2;5/2)`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đk để căn thức có nghĩa
$\begin{cases}x \geq 1\\y \geq 2\\\end{cases}$
áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số `(sqrt{x-1},sqrt{y-2})` và `(1,1)` ta có
`(sqrt{x-1}+sqrt{y-2})^2<=(x-1+y-2).(1+1)`
`->(sqrt{x-1}+sqrt{y-2})^2<=2.(x+y-3)`
`->(sqrt{x-1}+sqrt{y-2})^2<=2`
`->sqrt{x-1}+sqrt{y-2}<=sqrt{2}`
dấu = xảy ra khi
`sqrt{x-1}=sqrt{y-2}`
`->x-1=y-2`
`->x-y=-1`
kết hợp với `x+y=4` ta có
$\begin{cases}x-y=1\\x+y=4\\\end{cases}$
`->` $\begin{cases}x-y=1\\2y=3\\\end{cases}$
`->`$\begin{cases}x=\dfrac{3}{2}(TMĐKXĐ)\\y=\dfrac{5}{2}(TMĐKXĐ)\\\end{cases}$

vậy `Max_C=sqrt{2}<=>` $\begin{cases}x=\dfrac{3}{2}(TMĐKXĐ)\\y=\dfrac{5}{2}(TMĐKXĐ)\\\end{cases}$

$@Kate2007$
#anh em siêu nhân