a) Ta có:

$AE$ la tiếp tuyến của $(O)$

$\Rightarrow OE\perp AE$

$\Rightarrow \widehat{OEA} =90^o$

Ta lại có: $AE = OE = R$

$\Rightarrow ΔOEA$ vuông cân tại $E$

b) Ta có:

$AE = AF = OE = OF = R$

$\Rightarrow OEAF$ là hình thoi

Ta lại có:

$\widehat{E} = 90^o \quad (OE\perp E)$

$\Rightarrow OEAF$ là hình vuông

$\Rightarrow \widehat{F} = 90^o$

$\Rightarrow OF\perp AF$

$\Rightarrow AF$ là tiếp tuyến của $(O)$

c) Ta có:

$AE,AF,BD$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $E,F,D$

hay $AC,AB,BC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $E,F,D$

$\Rightarrow \begin{cases}AE = AF\\BD=BF\\CD=CE\end{cases}$

và $OEAF$ là hình vuông

$\Rightarrow OE = OF = AE = AF = R$

Ta được:

$S_{ABC} = S_{OEAF} + S_{OBD}+ S_{OBF} + S_{OCE} + S_{OCD}$

$\to S_{ABC} = AF.OF + \dfrac{1}{2}BF.OF + \dfrac{1}{2}BD.OD + \dfrac{1}{2}CE.OE + \dfrac{1}{2}CD.OD$

$\to S_{ABC} = \dfrac{1}{2}R(2AF + BF + BD + CE + CD)$

$\to S_{ABC} = \dfrac{R}{2}(AF + AE + BF + BD + CD + CE)$

$\to S_{ABC} = \dfrac{R}{2}(AB + AC + BC)$

d) $OEAF$ là hình vuông (câu b)

$\Rightarrow \widehat{A} = 90^o$

$\Rightarrow ΔABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AB^2 + AC^2 = BC^2$

$\Rightarrow (AF + BF)^2 + (AE + CE)^2 = (BD + DC)^2$

Ta có:

$2BD.DC = (BD+DC)^2 - (BD^2 + DC^2)$

$= (AF + BF)^2 + (AE + CE)^2 - (BD^2 + DC^2)$

$= AF^2 + 2AF.BF + BF^2 + AE^2 + 2AE.CE + CE^2 - (BF^2 + CE^2)$

$=AF^2 + 2AF.BF + AE^2 + 2AE.CE$

$= AF^2 + AF.BF + AE^2 + AE.CE + (AF.BF + AE.CE)$

$= AF(AF + BF) + AE(AE + CE) + (OD.BD + OD.CD)$

$= OD.AB + OD.AC + OD.BC$

$=R(AB + AC + BC)$

$=2S_{ABC}$

Do đó:

$S_{ABC} = DB.DC$