a) Ta có:

$BE\perp AC;\, CF\perp AB$

$\Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\Rightarrow BCEF$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BEF}=\widehat{BCF}$

Ta lại có:

$\widehat{BCF}=\widehat{BCN}=\widehat{BMN}\quad \left(=\dfrac12s₫\mathop{BN}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$

$\Rightarrow \widehat{BEF}=\widehat{BMN}$

$\Rightarrow MN//EF$

Mặt khác:

$BCEF$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{ECF}=\widehat{EBF}$

$\Rightarrow \widehat{ACN}=\widehat{ABM}$

$\Rightarrow \mathop{AN}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\Rightarrow AN = AM$

Ta lại có:

$ON = OM = R$

$\Rightarrow OA$ là trung trực của $MN$

$\Rightarrow OA\perp MN$

mà $MN//E\quad (cmt)$

nên $OA\perp EF$

b) Ta có $∆ABE\sim ∆ACF\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$

Lại có: $\widehat{BAC}:$ chung

$\Rightarrow ∆AEF\sim ∆ABC\, (c.g.c)$

$\Rightarrow \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AF}{AC}\right)^2 =\cos^2\widehat{A}$

$\Rightarrow \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}} =\cos^260^o = \dfrac14$

$\Rightarrow \dfrac{S_{AEF}}{S_{BCEF}}=\dfrac13$

c) Kẻ đường kính $AD$, lấy $I$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^o$ (cùng nhìn đường kính $AD$)

$\Rightarrow BD\perp AB;\, CD\perp AC$

mà $CH\perp AB;\, BH\perp AC$

nên $BD//CH;\, CD//BH$

$\Rightarrow BHCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow I$ là trung điểm $HD$

$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của $∆AHD$

$\Rightarrow AH = 2OI$

$\Rightarrow AH$ có độ dài không đổi

Xét $∆AEH$ vuông tại $E$

Kẻ đường cao $EK$ trung tuyến $EP$

Trong $∆EKP$ vuông tại $K$ luôn có:

$EK\leq EP$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}AH.EK \leq \dfrac12AH.EP$

$\Rightarrow S_{AEH}\leq \dfrac12AH.EP$

$\Rightarrow \max S_{AEH}=\dfrac12AH.EP \Leftrightarrow EK = EP$

$\Leftrightarrow K\equiv P$

$\Leftrightarrow ∆AEH$ vuông cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{HAE}=\widehat{HAC}=45^o$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=45^o$

Vậy $S_{AEH}$ lớn nhất khi $A \in \mathop{BAC}\limits^{\displaystyle\frown}$ sao cho $\widehat{ACB}=45^o$