Đáp án:

$B.\, \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

Giải thích các bước giải:

$∆SAB$ đều cạnh $AB = a$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow SM\perp AB;\, SM =\dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta lại có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (ABCD) = AB\\SM\perp AB\\SM\subset (SAB)\end{cases}$

$\Rightarrow SM\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SM\perp CD$

Gọi $N$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow MN = a;\, MN//AD//BC$ (đường trung bình)

$\Rightarrow MN\perp CD$

mà $SM\perp CD\quad (cmt)$

nên $CD\perp (SMN)$

Trong $mp(SMN)$ kẻ $MH\perp SN\quad (H\in SN)$

$\Rightarrow CD\perp MH$

$\Rightarrow MH\perp (SCD)$

$\Rightarrow MH= d(M;(SCD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆SMN$ vuông tại $M$ đường cao $MH$ ta được:

$\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{SM^2}+\dfrac{1}{MN^2}$

$\Rightarrow MH =\dfrac{SM.MN}{\sqrt{SM^2 + MN^2}}$

$\Rightarrow d(M;(SCD))=\dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot a}{\sqrt{\dfrac{3a^2}{4} + a^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

Mặt khác:

$AB//CD$

$\Rightarrow AB//(SCD)$

$\Rightarrow d(AB;SD) = d(AB;(SCD)) = d(M;(SCD))$

$\Rightarrow d(AB;SD)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$