Đáp án:

$m \in \left\{ -\dfrac{13}{2}, \dfrac{11}{2} \right\}$.

Giải thích các bước giải:

 Xét ptrinh hoành độ giao điểm

$x^2 - 2mx + m^2 + m = x$

$\Leftrightarrow x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0$

Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm thì ptrinh trên phải có 2 nghiệm phân biệt, suy ra

$\Delta > 0$

$\Leftrightarrow (2m+1)^2 - 4(m^2 + m) > 0$

$\Leftrightarrow 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m > 0$

$\Leftrightarrow 1 > 0$ đúng với mọi $m$

Vậy ptrinh trên luôn có 2 nghiệm. Khi đó, hai nghiệm là

$x_1 = \dfrac{2m+1 - 1}{2} = m, x_2 = \dfrac{2m + 1 + 1}{2} = m+1$

Khi đó, tọa độ hai giao điểm là $A(m, m)$ và $B(m + 1, m+1)$. Tương ứng như thế thì $D(m, 0)$ và $C(m+1, 0)$.

Vậy $AD = |m|, BC = |m+1|, CD = 1$.

Ta thấy tứ giác $ABCD$ là hình thang vuông tại $C$ và $D$ nên diện tích tứ giác $ABCD$ là

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC).CD}{2} = \dfrac{(|m| + |m+1|).1}{2} = 6$

Suy ra

$|m| + |m + 1| = 12$

TH1: $m < -1$

Khi đó ptrinh trở thành

$-m + (-m-1) = 12$

$\Leftrightarrow m = -\dfrac{13}{2}$ (TM)

TH2: $1 \leq m < 0$

Khi đó ptrinh trở thành

$-m + m + 1 = 12$

$\Leftrightarrow 1 = 12$ (vô lý)

TH3: $m \geq 0$

Khi đó ptrinh trở thành

$m + m + 1 = 12$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{11}{2}$.

Vậy $m \in \left\{ -\dfrac{13}{2}, \dfrac{11}{2} \right\}$.