a) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC\bot A$ có:

$AH^2=BH.CH=4.6=24\Rightarrow AH=\sqrt{24}=2\sqrt6$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta ABH\bot H$ có:

$AB^2=AH^2+BH^2=24+16=40\Rightarrow AB=2\sqrt{10}$

$\Delta AHC\bot H$ có:

$AC^2=AH^2+HC^2=24+36=60=2\sqrt{15}$

b) $AM=\dfrac{AC}2=\sqrt{15}$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABM\bot A$ có:

$\tan\widehat{AMB}=\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{15}}={2\sqrt2}{\sqrt3}$

$\Rightarrow\widehat{AMB}=\arctan{2\sqrt2}{\sqrt3}=58,52^o$

c) $BC=BH+CH=10$ cm

$\Delta ABM\bot A:BM^2=AB^2+AM^2=40+15=55\Rightarrow BM=\sqrt{55}$

$AB^2=BK.BM\Rightarrow BK=\dfrac{AB^2}{BM}=\dfrac{40}{\sqrt{55}}$

Ta có: $\dfrac{BK}{BH}=\dfrac{40}{\sqrt{55}.4}=\dfrac{10}{\sqrt{55}}$

$\dfrac{BC}{BM}=\dfrac{10}{\sqrt{55}}$

$\Delta BKC$ và $\Delta BHM$ có:

$\widehat B$ chung

$\dfrac{BK}{BH}=\dfrac{BC}{BM}$

$\Rightarrow \Delta BKC\sim\Delta BHM$ (c.g.c).