Giải thích các bước giải:

a.Ta có $MN\perp AB, AB\perp AC\to MN//AC$

Mà $M$ là trung điểm $BC$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to AC=2MN, N$ là trung điểm $AB$

b.Tương tự câu a $\to MP$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to MP//AB, MP=\dfrac12AB$

Mà $N$ là trung điểm $AB$

$\to MP//BN, MP=BN$

$\to BMPN$ là bình bình hành

c.Ta có $MN\perp AB, MP\perp AC, AB\perp AC$

$\to ANMP$ là hình chữ nhật

$\to AM\cap PN$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $AM\cap PN=F\to F$ là trung điểm $AM, NP$

Mà $E$ là trung điểm $MB$

$\to EF$ là đường trung bình $\Delta MAB$

$\to EF//AB$

$\to ABEF$ là hình thang

Lại có $\Delta ABC$ vuông tại $A,M$ là trung điểm $BC$

$\to MA=MB=MC=\dfrac12BC$

$\to \Delta MAB$ cân tại $M\to \widehat{MAB}=\widehat{MBA}$

$\to\widehat{FAB}=\widehat{EBA}$

$\to ABEF$ là hình thang cân

d.Gọi $BK\cap HN=D$

Ta có $\Delta AHB$ vuông tại $H,N$ là trung điểm $AB$
$\to NH=HB=HA=\dfrac12AB$

$\to \Delta NHB$ cân tại $N$

$\to \widehat{BND}=\widehat{BNH}=180^o-2\widehat{NBH}=180^o-2\hat B$

Ta có $KM\perp BC=M, M$ là trung điểm $BC$

$\to KM$ là đường trung trực $\Delta KBC$

$\to KB=KC$

$\to \Delta KBC$ cân tại $K$
$\to\widehat{KBC}=\widehat{KCB}=\hat C$

$\to \widehat{NBD}=\hat B-\widehat{KBC}=\hat B-\hat C$

$\to \widehat{BND}+\widehat{NBD}=180^o-2\hat B+\hat B-\hat C=180^o-(\hat B+\hat C)=180^o-90^o=90^o$

$\to \Delta NDB$ vuông tại $D$

$\to ND\perp BD\to NH\perp BK$