Đáp án:

a)

Xét tứ giác $ADME$ có:

$\widehat{DAE}=90^0$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$)

$\widehat{ADM}=90^0$ (do $DM\bot AB$)

$\widehat{MEA}=90^0$ (do $ME\bot AC$)

$\Rightarrow $ tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật

b)

Xét $\triangle ABC$ có:

$M$ là trung điểm của $BC$

$DM//AC$ (do $ADME$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow D$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow AD=DB=\dfrac{1}{2}AB$

mà $AD=ME$ (do tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow DB=ME$

Xét tứ giác $DBME$ có:

$DB=ME$ (cmt)

$DB//ME$ (do $ADME$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow$ tứ giác $ DBME$ là hình bình hành

c)

Ta có:

$N$ là điểm đối xứng với $E$ qua $M$

$\Rightarrow MN=ME=\dfrac{1}{2}NE$

$AD=DB=\dfrac{1}{2}AB$ (cmt)

mà $AD=ME$ (do $ADME$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow AB=NE$

Xét tứ giác $ABNE$ có:

$AB=NE$ (cmt)

$AB//NE$ (do $ADME$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow$ tứ giác $ABNE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $AN$ và $BE$

Xét $\triangle BKE$ vuông tại $K$ có

$O$ là trung điểm của $BE$

$\Rightarrow OK=OB=OE=\dfrac{1}{2}BE$

mà $AN=BE$ (do tứ giác $ABNE$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow OK=\dfrac{1}{2}AN$

Xét $\triangle ANK$ có

$OK=\dfrac{1}{2}AN$

$O$ là trung điểm của $AN$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ANK$ vuông tại $K$ 

hay $AK\bot KN\Rightarrow đpcm$