Đáp án:

984 cách

Lời giải:

Số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau chia hết cho $18=2.9$ mà $2$ và $9$ nguyên tố cùng nhau

⇒ số này phải chia hết cho 2 và 9

⇒ số có 6 chữ số khác nhau có tận cùng chẵn và tổng 6 chữ số chia hết cho 9

⇒ 6 chữ số được lập thành từ các bộ số sau:

$(2,3,4,5,6,7); (0,1,2,4,5,6); (0,1,2,3,5,7)$

Để chia hết cho 2 ⇒ tận cùng là $2; 4;6$

Gọi số có 6 chữ số khác nhau là $\overline{abcdef}$

Với 6 chữ số là bộ số $(2,3,4,5,6,7)$

$f=\{2;4;6\}$ có 3 cách

$⇒a$ có 5 cách,

$b$ có 4 cách;

$c$ có 3 cách,

$d$ có 2 cách

$e$ có 1 cách

$⇒3.5.4.3.2.1=360$ cách

Với 6 chữ số là bộ số $(0,1,2,4,5,6)$ 

$f=0$ có 1 cách

$a, b, c, d, e$ có lần lượt $5, 4, 3, 2, 1$ cách

$\Rightarrow $ có $5!=120$ cách

$f=\{2;4;6\}$ có 3 cách

$a$ có 4 cách

$b, c, d, e$ có lần lượt $4, 3, 2, 1$ cách

$\Rightarrow $ có $3.4.4!=288$ cách 

Vậy có $120+288=408$ cách

Với 6 chữ số là bộ số $(0,1,2,3,5,7)$

$f=2$ có 1 cách

$a$ có 4 cách

$b, c, d, e$ có lần lượt $4,3,2,1$ cách

$\Rightarrow $ có $1.4.4!=96$ cách

$f=0$ có 1 cách

$a, b, c, d, e$ có lần lượt $5, 4, 3, 2, 1$ cách

$\Rightarrow $ có $1.5!=120$

Vậy có $96+120=216$ cách

Vậy tổng có: $360+408+216 =984$ cách.

Giải thích:

Tìm các bộ số thỏa mãn, mình làm như sau:

Do $0+1+2+...+7=28$

Để tổng chia hết cho 9 thì tổng của 6 chữ số có thể là 27 hoặc 18 hoặc 9

Nếu tổng là 27 thì ta bớt đi 2 chữ số có tổng là 1 như vậy bớt 0 và 1 ta được bộ số $(2,3,4,5,6,7)$

Nếu tổng là 18 thì ta bớt 2 chữ số có tổng là 28-18=10, như vậy bớt đi cặp (3; 7) hoặc (4;6);

khi đó ta được bộ số là $(0,1,2,4,5,6)$ và $(0,1,2,3,5,7)$

Nếu tổng là 9 thì phải bớt đi 28-9=19 đơn vị mà tổng 2 chữ số lớn nhất của tập A là 7+6=13<19

nên không có bộ số nào có tổng bằng 9 thỏa mãn.