Câu 1:

$y = x^3 + 3x^2 - 4 \qquad (C)$

$+) \quad TXĐ: D = \Bbb R$

$+) \quad \mathop{\lim}\limits_{x \to \pm \infty}y = \pm \infty$

$+) \quad y' = 3x^2 + 6x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = -2\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -2 & & & 0 &  & & +\infty\\
\hline
y' & & + & 0& & - & 0 &  & + &\\
\hline
&&&0&&&&&&+\infty\\
y & &\nearrow& && \searrow&  & &\nearrow\\
&-\infty&&&&&-4\\
\hline
\end{array}$

- Hàm số đồng biến trên $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$

- Hàm số nghịch biến trên $(-2;0)$

- Hàm số đạt cực đại tại $x = -2;\, y_{CĐ} = 0$

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0;\, y_{CT} = -4$

$+) \quad y'' = 6x + 6$

$y''=0 \Leftrightarrow x = -1$

- Hàm số có điểm uốn $U(-1;-2)$

$+) \quad$ Bảng giá trị:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x &-3&-2&-1&0&1\\
\hline
y &-4&0&-2&-4&0\\
\hline
\end{array}$

- Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại $(-2;0)$ và $(1;0)$

- Đồ thị hàm số giao với trục tung tại $(0;-4)$

- Đồ thị hàm số nhận điểm uốn $U(-1;-2)$ làm tâm đối xứng

b)  $-x^3 - 3x^2 + m + 5 = 0$

$\Leftrightarrow x^3 + 3x^2 - 4 = m + 1 \quad (*)$

$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(\Delta): y = m + 1$

$(*)$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow (\Delta)$ cắt $(C)$ tại $1$ điểm

Dựa vào đồ thị hàm số $(C)$ ở câu a, ta được:

$\quad\left[\begin{array}{l}m + 1 > y_{CĐ}\\m + 1 < y_{CT}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m + 1 > 0\\m + 1 < -4\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m >-1\\m < -5\end{array}\right.$

Câu 2:

a) $y = \dfrac{4x - 1}{x+2}$

$TXĐ: D = \Bbb R \backslash\left\{-2\right\}$

$+) \quad \mathop{\lim}\limits_{x \to \pm\infty}y$

$=\mathop{\lim}\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{4x - 1}{x+2}$

$=\mathop{\lim}\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{4 - \dfrac1x}{1+\dfrac2x}$

$= \dfrac{4 - 0}{1 + 0} = 4$

$\Rightarrow y = 4$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$+) \quad \mathop{\lim}\limits_{x \to (-2)^-}y = +\infty$

$\qquad \mathop{\lim}\limits_{x \to (-2)^+}y = -\infty$

$\Rightarrow x = -2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

b) $y = f(x)= \dfrac{x+3}{x+1}$

$TXĐ: D = \Bbb R \backslash\left\{-1\right\}$

$y' = \dfrac{-2}{(x+1)^2} < 0, \,\forall x \in D$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $[0;2]$

Do đó:

$\begin{cases}\mathop{\max}\limits_{x \in [0;2]}y = f(0) = 3\\\mathop{\min}\limits_{x \in [0;2]}y = f(2) = \dfrac{5}{3}\end{cases}$