a) Xét ΔMNQ vuông tại M, ta có:

PQ² = MP² + MQ² (định lý Pytago)

PQ² = 3² + 4²

PQ² = 25

⇒ PQ = 5 cm (PQ > 0)

b)

Ta có: MP là cạnh đối diện của `\hat{MQP}`

          MQ là cạnh đối diện của `\hat{MPQ}`

mà MP < MQ (gt)

⇒ `\hat{MQP}` < `\hat{MPQ}`

Lại có: cạnh huyền PQ đối diện `\hat{PMQ}`

mà cạnh huyền là cạnh lớn nhất của tam giác vuông

⇒ `\hat{PMQ}` lớn nhất

⇒ `\hat{MQP}` < `\hat{MPQ}` < `\hat{PMQ}` 

c) Cách 1:

Ta có: `\hat{PMI}` + `\hat{PMQ}` = `180^o` (I, M, Q thẳng hàng)

mà `\hat{PMQ}` = `90^o` (ΔPMQ vuông tại M)

⇒ `\hat{PMI}` + `90^o` = `180^o`

⇒ `\hat{PMI}` = `90^o`

⇒ `\hat{PMI}` = `\hat{PMQ}` = `90^o` 

Xét ΔPMI và ΔPMQ, ta có:

PM: chung

`\hat{PMI}` = `\hat{PMQ}` = `90^o` (cmt)

MI = MQ (gt) 

⇒ ΔPMI = ΔPMQ (c.g.c)

Cách 2:

Ta có: `\hat{PMI}` + `\hat{PMQ}` = `180^o` (I, M, Q thẳng hàng)

mà `\hat{PMQ}` = `90^o` (ΔPMQ vuông tại M)

⇒ `\hat{PMI}` + `90^o` = `180^o`

⇒ `\hat{PMI}` = `90^o`

⇒ ΔPMI vuông tại M

Xét ΔPMI vuông tại M và ΔPMQ vuông tại M, ta có:

PM: chung

MI = MQ (gt) 

⇒ ΔPMI = ΔPMQ (2 cạnh góc vuông)

Vì ΔPMI = ΔPMQ (cmt)

⇒ PI = PQ (yếu tố tương ứng)

⇒ ΔPIQ cân tại P

d)

Ta có: Qx // MK (gt)

⇒ `\hat{KMQ}` = `\hat{HQM}` (2 góc so le trong)

Xét ΔMKQ vuông tại K và ΔQHM vuông tại H, ta có:

MQ: chung

`\hat{KMQ}` = `\hat{HQM}`  (cmt)

⇒ ΔMKQ = ΔQHM (ch-gn)

⇒ MK = QH (yếu tố tương ứng)