Giải thích các bước giải:

 a.Ta có $D,E$ là trung điểm $AC, AB$

$\to DE$ là đường trung bình $\Delta ABC\to DE//BC$

$\to BEDC$ là hình thang

b.Vì $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC\to DE=\dfrac12BC=4$

Ta có $M,N$ là trung điểm $BE, CD$

$\to MN$ là đường trung bình hình thang $BCDE$

$\to MN=\dfrac12(BC+DE)=\dfrac12(BC+\dfrac12BC)=\dfrac34BC=6$

c.Ta có $MN$ là đường trung bình hình thang $BCDE\to MN///DE//BC$

$\to MI//DE$

Mà $M$ là trung điểm $BE\to MI$ là đường trung bình $\Delta BDE$

$\to MI=\dfrac12DE=\dfrac14BC$

Tương tự $NK=\dfrac14BC$

$\to IK=MN-MI-NK=\dfrac14BC$ vì $MN=\dfrac34BC$

$\to MI=IK=KN$

a, Xét Δ ABC, có:

AD=DC (do BD là đg trug tuyến)

AE=EB (do CE là đg trug tuyến)

⇒ED là đg TB ΔABC

⇒EC//BC

Xét t/g BEDC, có EC//BC (cmt)

⇒T/g BEDC là TH

b, Xét HT BEDC, có

EM=MB (gt)

DN=NC (gt)

⇒MN là đg TB HT BEDC 

⇒MN=$\frac{BC+ED}{2}$BC= $\frac{1}{2}$ . 8=4 cm

c,· Vì MN là đg TB HT BEDC ⇒ MN//ED//BC

· Xét ΔBED, có: EM=MB(gt); MI//ED (do MN//ED)

⇒ DI=IB ⇒MI là đg TB ΔBED ⇒MI=$\frac{1}{2}$ ED (1)

· Xét ΔCDE, có: CN=ND (gt); NK//ED (do MN//ED)

⇒EK=KC ⇒ NK là đg TB ΔCDE⇒ NK=$\frac{1}{2}$ ED (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MI=NK (3)

· T/c  MI=$\frac{1}{2}$ ED và ED=$\frac{1}{2}$ BC

⇒MI=$\frac{1}{4}$ BC

Xét ΔEBC, có EM=MB (gt); EK=KC (cmt)

⇒MK là đg TB ΔEBC ⇒ MK=$\frac{1}{2}$ BC

T/C MI+ IK= MK

⇒IK= MK - MI= $\frac{1}{2}$ BC- $\frac{1}{4}$ BC= $\frac{1}{4}$ BC 

⇒MI=IK (4)

Từ (3) và (4) ⇒ MI=IK=KN (đpcm)