a)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EFD$, ta có:

$DA=DE\left( gt \right)$

$DB=DF\left( gt \right)$

$\widehat{ADB}=\widehat{EDF}=90{}^\circ $

Nên $\Delta ABD=\Delta EFD\left( c.g.c \right)$

b)

Vì $\Delta ABD=\Delta EFD\left( cmt \right)$

Nên $\widehat{BAD}=\widehat{FED}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AB//EF$

Mà $AB\bot AC$

$\Rightarrow EF\bot AC$ tại $K$

Xét $\Delta AKE$ vuông tại $K$ có trung tuyến $KD$

$\Rightarrow DK=DE$

$\Rightarrow \Delta DKE$ cân tại $D$

$\Rightarrow \widehat{DKF}=\widehat{FED}$

Mà $\widehat{BAD}=\widehat{FED}\left( cmt \right)$

Vậy $\widehat{DKF}=\widehat{BAD}$

c)

Xét $\Delta ACE$, ta có:

$CD$ là đường cao thứ nhất

$EK$ là đường cao thứ hai

$CD$ cắt $EK$ tại $F$

$\Rightarrow F$ là trực tâm $\Delta ACE$

$\Rightarrow AF\bot EC$

d)

Xét $\Delta ADF$ và $\Delta EDF$, ta có:

$DA=DE\left( gt \right)$

$DF$ là cạnh chung

$\widehat{ADF}=\widehat{EDF}=90{}^\circ $

Nên $\Delta ADF=\Delta EDF\left( c.g.c \right)$

Do đó $AF=EF$ (hai cạnh tương ứng)

Theo bất đẳng thức trong $\Delta AFE$

Ta có $AF+EF>AE$

$\Rightarrow 2EF>AE\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $\Delta DEF$ vuông tại $D$

Nên $\widehat{DFE}$ là góc nhọn

Mà $\widehat{DFE}$ và $\widehat{CFE}$ là hai góc kề bù

$\Rightarrow \widehat{CFE}$ là góc tù

Vậy trong $\Delta CFE$ có $\widehat{CFE}$ góc tù

Nên $\widehat{CFE}>\widehat{FEC}$

$\Rightarrow EC>FC\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$:

$\Rightarrow 2EF+EC>AE+FC$

$\Rightarrow 2EF-FC>AE-EC$