Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $MK\perp BC=M$ là trung điểm $BC$

$\to KM$ là trung trực $BC$

$\to KB=KC$

Vì $AK$ là phân giác $\hat A, KH\perp AB, KI\perp AC$

$\to KH=KI$

Xét $\Delta KBH,\Delta KIC$ có:

$KB=KC$

$\widehat{KHB}=\widehat{KIC}(=90^o)$

$KH=KI$

$\to \Delta KBH=\Delta KCI$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to BH=CI$

b. Ta có: $KH\perp AH, KI\perp AC$

$\to \Delta AHK,\Delta IAK$ vuông tại $H, I$

$\to AH^2=AK^2-KH^2=AK^2-KI^2=AI^2$

$\to AH=AI$

$\to\Delta AHI$ cân tại $A$

$\to \widehat{AHI}=\widehat{AIH}$

Vì $BN//AC$

$\to \widehat{BHN}=\widehat{AHI}=\widehat{AIH}=\widehat{BNH}$

$\to \Delta BHN$ cân tại $B$

c.Từ câu b $\to BH=BN$

Mà $BH=CI\to BN=CI$

Xét $\Delta MBN,\Delta MCI$ có:

$MB=MC$

$\widehat{MBN}=\widehat{MCI}$ vì $BN//AC$

$BN=CI$

$\to \Delta MBN=\Delta MCI(c.g.c)$

$\to \widehat{BMN}=\widehat{IMC}$

$\to N, M, I$ thẳng hàng

$\to M\in IN$

$\to M\in HI$

$\to H, M, I$ thẳng hàng