Giải thích các bước giải:

a, ΔBHI vuông tại H ⇒ $\widehat{BIH}$ = $90^o$ - $\widehat{IBH}$

ΔABD vuông tại A ⇒ $\widehat{ADB}$ = $90^o$ - $\widehat{ABD}$

Vì BD là phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{IBH}$ = $\widehat{ABD}$

⇒ $\widehat{BIH}$ = $\widehat{ADB}$ ⇒ $\widehat{AID}$ = $\widehat{ADI}$

⇒ ΔAID cân tại A (đpcm)

b, Do BD là phân giác nên DA = DK (Tính chất điểm thuộc tia phân giác)

Theo câu a, ΔADI cân tại A ⇒ AD = AI. Vậy thì AI = DK

mà AI ║ DK (cùng ⊥ BC) ⇒ ADKI là hình bình hành

mà AD = AI ⇒ ADKI là hình thoi (đpcm)

c) Xét ΔIEK có IH = HE nên KH là trung tuyến

mà KH cũng là đường cao

⇒ ΔIEK cân tại K ⇒ $\widehat{HIK}$ = $\widehat{HEK}$

Lại có $\widehat{HIK}$ = $\widehat{IKD}$ (so le trong) 

⇒ $\widehat{IKD}$ = $\widehat{HEK}$

ADKI là hình thoi ⇒ $\widehat{IKD}$ = $\widehat{AID}$

⇒ $\widehat{HEK}$ = $\widehat{AID}$

Tứ giác ADKE có DK ║ AE nên là hình thang, lại có $\widehat{HEK}$ = $\widehat{AID}$

⇒ ADKE là hình thang cân (đpcm)