Giải:

a) Tính AH

Xét ΔABC vuông tại H, đường cao AH

Ta có: DB² = AD² + AB²

            DB² = 5² + 12²

        ⇒DB   = $\sqrt[]{169}$ = 13cm

Ta có:  AD.AB = AH.DB ( htl )

             5. 12   = AH. 13

         ⇒AH = $\frac{60}{13}$ ≈ 4,6 cm

Tính BH, DH

Ta có: AB² = DB. HB ( htl )

            12² = 13. HB

  ⇒ HB = $\frac{144}{13}$ ≈ 11,1 cm

mà DB = DH + HB

⇒   13 =  DH + 11

⇒ DH = 2cm

Tính IH

Xét ΔADI vuông tại D

Ta có: AD² = AH. AI ( htl )

            5²  = 4,6. AI

⇒ AI = $\frac{25}{4,6}$ ≈ 5,4cm

mà AI = AH + HI

⇒  5,4 = 4,6 + HI

⇒  HI  = 0,8cm

 b) Cm: AH.AI = DH.DB

Xét ΔADI vuông tại D, đường cao DH

Ta có: AD² = AH. AI (1)

Xét ΔADB vuông tại A, đường cao AH

Ta có: AD² = DH. DB (2)

Từ (1),(2) ⇒ AH. AI = DH. DB ( cùng bằng AD² )

c) Cm : AH² = HI. HF

Xét ΔHDI vuông tại H

       ΔHFB vuông tại H

Ta có: ∠HDI = ∠HFB ( cùng phụ ∠DBC )

⇒ΔHDI ~ ΔHFB ( g-g )

$\frac{HD}{HF}$ = $\frac{HI}{HB}$ ( tsđd )

⇒ HD. HB = HI. HF

mà HD. HB = AH² ( htl )

⇒ AH² = HI. HF ( cùng bằng HD. HB )

😊