Đáp án:

 a) Xét ΔABD có: E và M là trung điểm của AB và AD

=> EM là đường trung bình

=> EM//BD và EM=1/2 BD

Xét ΔCBD có: I và K là trung điểm của CB và CD

=> IK là đường trung bình

=> IK//BD và IK=1/2 BD

Xét tứ giác EIKM có EM//IK và EM=IK (=1/2 BD)

=> EIKM là hình bình hành

LẠi có ABCD là hình thang cân nên 2 đường chéo AC=BD

=> AC/2=BD/2

=> EM=EI (do EI là đường trung bình của ΔABC)

=> HÌnh bình hành EIKM là hình thoi

b)

Để hình thoi EIKM là hình vuông thì EM⊥EI

=> AC⊥BD

=> hình thang ABCD có 2 đường chéo vuông góc với nhau

Vậy hình thang ABCD có đường chéo vuông góc với nhau thì EIKM là hình vuông.

Xét △△ABC có: E, I là trung điểm AB, BC

=> EI là đường trung bình tam giác ABC

=> EI//AC, EI=1/212AC

Chứng minh tương tự: MK//AC, MK=1/2AC

=> EI//MK, EI=MK

=> tứ giác EIKM là hình bình hành (1)

ta có: EA=EB, ∠A=∠B, BI=MA(do AD=BC)

=> △△AEM=△△BEI

=> EM=EI(2)

từ (1), (2)

=> tứ giác EIKM là hình thoi

b) Để EIKM là hình vuông thì EM⊥EI

Xét △△ABD có E, M là trung điểm AB, AD

=> EM là đường trung bình của △△ABD

=> EM//BD, tương tự: EI//AC

=> AC⊥BD thì EIKM là hình vuông