a) Xét $ΔABC$ , ta có :

+) $M$ là trung điểm $AC$

+) $N$ là trung điểm $BC$

$⇒MN$ là đường trung bình của $ΔABC$

$⇒MN//AB$

$⇒ABNM$ là hình thang

b) $MN$ là đường trung bình của $ΔABC$

$⇒MN=\dfrac{AB}{2} ⇒ AB=2MN=10 ( cm )$

Áp dụng Pi-ta-go vào $ΔABH$ , ta có :

$AH^2=AB^2-BH^2=10^2-6^2=64$

$⇒AH=8 ( cm )$

c) $MN//AB$

$⇒MN//BK$ $(1)$

$MN=\dfrac{BC}{2}$ 

$K$ là trung điểm $AB$ 

⇒ $BK=\dfrac{BC}{2}$

$⇒MN=BK$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2) ⇒ BKMN$ là hình bình hành.

d) $BKMN$ là hình bình hành

$⇒KM//BN$

$⇒\widehat{MKH}=\widehat{KHB}$ ( Hai góc so le trong ) $(3)$

$ΔHAB⊥H$ có $HK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$

$⇒HK=\dfrac{AB}{2}=BK$

$⇒ΔKBH$ cân tại $K$

$⇒\widehat{KBH}=\widehat{KHB}$ $(4)$

Từ $(1)$ và $(2) ⇒ \widehat{KBH}=\widehat{MKH}$ $(5)$

$BKMN$ là hình bình hành$

$⇒\widehat{KBH}=\widehat{KMN}$ $(6)$

Từ $(5)$ và $(6) ⇒ \widehat{MKH}=\widehat{KMN}$   $(7)$

Xét $ΔABC$ :

+) $K$ là trung điểm $AB$

+) $M$ là trung điểm $AC$

$⇒KM$ là đường trung bình $ΔABC$

$⇒KM//BC ⇔ KM//HN$

$⇒KMNH$ là hình thang $(8)$

Từ $(7)$ và $(8) ⇒ KMNH$ là hình thang cân.

a)

Xét ΔABC:

Vì M là trung điểm của AC `⇒AM=MC` (1)

Vì N là trung điểm của BC `⇒BN=NC` (2)

Từ `(1), (2)⇒MN` là đường trung bình của ΔABC.

`⇒MN║AB`

`⇒ABNM` là hình thang.

b)

Vì MN là đường trung bình của ΔABC.

`⇒MN=1/2AB`

`⇔AB=2MN=2.5=10cm`

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ΔABH vuông tại H, ta có:

`AB^2=AH^2+BH^2`

`⇒AH^2=AB^2-BH^2=10^2-6^2=100-36=64`

`⇒AH^2=\sqrt{64}=8cm`

c)

Xét ΔABC:

Vì K là trung điểm của AB `⇒AK=BK`

Vì M là trung điểm của AC `⇒AM=MC`

`⇒KM` là đường trung bình của ΔABC.

`⇒KM║BC`

Mà `N∈BC`

`⇒KM║BN`  (3)

Vì MN là đường trung bình của ΔABC (cmt câu a)

`MN║AB`

Mà `K∈AB`

`⇒MN║BK`  (4)

Từ `(3), (4) ⇒BKMN` là hình bình hành.

d)

Nối K với N, H với M.

Vì KM là đường trung bình của ΔABC (cmt câu c)

`⇒KM║BC`

Mà `H,N∈BC`

`⇒KM║HN`

`⇒KMNH` là hình thang.

Vì AH là đường cao của ΔABC.

`⇒AH⊥BC`

`⇒` $\widehat{AHC}=90^o$

`⇒ΔAHC` vuông tại H.

Vì M là trung điểm của AC (gt)

`⇒HM` là đường trung tuyến ứng với cạnh AC của ΔAHC.

`⇒HM=1/2AC`     (5)

Xét ΔABC:

K là trung điểm của AB `⇒AK=BK`

N là trung điểm của BC `⇒BN=NC`

`⇒KN` là đường trung bình của ΔABC.

`⇒KN=1/2AC`       (6)

Từ `(5), (6) ⇒HM=KN`

`⇒KMNH` là hình thang cân.