Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABC,\Delta HAB$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BAC}=\widehat{AHB}(=90^o)$

$\to \Delta ABC\sim\Delta HBA(g.g)$

b.Xét $\Delta AHD,\Delta CDE$ có:

$\widehat{AHD}=\widehat{CED}(=90^o)$

$\widehat{ADH}=\widehat{CDE}$

$\to \Delta AHD\sim\Delta CED(g.g)$

$\to \dfrac{AH}{CE}=\dfrac{AD}{CD}$

$\to AH\cdot CD=CE\cdot AD$

c.Từ câu b $\to \dfrac{DH}{DE}=\dfrac{DA}{DC}\to \dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DE}{DC}$

Xét $\Delta DHE,\Delta DAC$ có:

$\widehat{HDE}=\widehat{ADC}$(đối đỉnh)
$\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DE}{DC}$

$\to \Delta DEH\sim\Delta DCA(c.g.c)$

$\to \dfrac{EH}{AC}=\dfrac{DH}{DA}$

$\to EH\cdot AD=DH\cdot AC$

$\to 2AD\cdot HE=2DH\cdot AC=2BD\cdot AC$ vì $H$ là trung điểm $BD$

d.Ta có: $AD\perp BF, CD\perp AF\to D$ là trực tâm $\Delta ACF\to FD\perp AC$

Mà $AB\perp AC\to AB//DF$

$\to \dfrac{HA}{HF}=\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{HB}{HD}=1$

$\to HA=HF\to H$ là trung điểm $AF$

Vì $H$ là trung điểm $BD\to ABFD$ là hình bình hành

Lại có $AF\perp BD\to ABFD$ là hình thoi

$\to BA=BF=FD=AD$

Xét $\Delta ADH,\Delta AFE$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AHD}=\widehat{AEF}(=90^o)$

$\to \Delta AHD\sim\Delta AEF(g.g)$

$\to \dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AF}$

$\to AD\cdot AE=AH\cdot AF$

$\to BF\cdot AE=AH\cdot AF$ vì $AD=BF$

$\to 2BF\cdot AE=2AH\cdot AF=AF\cdot AF=AF^2$

$\to đpcm$