Giải thích các bước giải:

a.Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MA\perp OA, MB\perp OB$

$\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^o$

$\to MAOB$ nội tiếp

b.Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MO\perp AB\to AH\perp MO$

Mà $MA\perp AO$ 

$\to MA^2=MH\cdot MO$

Xét $\Delta MAF,\Delta AME$ có:

Chung $\hat M$

$\widehat{MAF}=\widehat{MEA}$ vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta MAF\sim\Delta MEA(g.g)$

$\to \dfrac{MA}{ME}=\dfrac{MF}{AM}$

$\to MA^2=ME\cdot MF$

$\to MH\cdot MO=ME\cdot MF$

Ta có: $AE//MO\to AE\perp AB\to \widehat{BAE}=90^o\to \widehat{BOE}=2\widehat{BAE}=180^o$

$\to B, O, E$ thẳng hàng

$\to BE$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{BFE}=90^o\to BF\perp ME$

$\to \widehat{MFB}=\widehat{MHB}(=90^o)$

$\to BHFM$ nội tiếp

$\to \widehat{NHF}=\widehat{MHF}=\widehat{MBF}=\widehat{FAB}=\widehat{NAH}$

$\to \Delta NHF\sim\Delta NAH(g.g)$

$\to \dfrac{NH}{NA}=\dfrac{NF}{NH}$

$\to NH^2=NA\cdot NF$

c.Ta có: $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O), MO\cap AB=H\to H$ là trung điểm $AB\to HB=HA$

Từ câu b $\to \widehat{NFH}=\widehat{NHA}=90^o\to HF\perp NA$

Vì $\Delta NHA$ vuông tại $H, HF\perp AN$

$\to \dfrac{HB^2}{HF^2}=\dfrac{HA^2}{HF^2}=\dfrac{AF\cdot AN}{FA\cdot NF}=\dfrac{AN}{AF}$

Lại có $AE//MO$

$\to \dfrac{AN}{AF}=\dfrac{EM}{MF}$

$\to \dfrac{HB^2}{HF^2}-\dfrac{EF}{MF}=\dfrac{EM}{MF}-\dfrac{EF}{MF}=\dfrac{EM-EF}{MF}=\dfrac{MF}{MF}=1$