a) Xét $∆AMB$ và $∆CND$ có:

$BM = DN \quad (gt)$

$AB = CD \quad (gt)$

$\widehat{ABM}=\widehat{CDN}$ (so le trong)

Do đó: $∆AMB=∆CND\, (c.g.c)$

b) Ta có $AC$ cắt $BD$ tại $O$

$\Rightarrow OA = OC;\, OB = OD$

mà $BM = DN$

nên $OB - BM = OD - DN$

hay $OM = ON$

Xét $∆AMO$ và $∆CNO$ có:

$OM = ON\quad (cmt)$

$OA= OC\quad (cmt)$

$AM = CN\quad (∆AMB=∆CND)$

Do đó $AMO=∆CNO\, (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{NCO}$

$\Rightarrow AM//CN$

mà $AM=CN$

nên $AMCN$ là hình bình hành

c) Xét $∆ABC$ có:

$BO$ là trung tuyến $(OA = OC)$

$BM = \dfrac{1}{3}BD =\dfrac{2}{3}BO$

$\Rightarrow M$ là trọng tâm $∆ABC$

$\Rightarrow AM = 2MI$

d) Xét tứ giác $AICK$ có:

$AI//CK\quad (AM//CN)$

$AK//CI\quad (AD//BC)$

Do đó $AICK$ là hình bình hành

Ta lại có $O$ là trung điểm đường chéo $AC$

$\Rightarrow O$ là trung điểm đường chéo $IK$

$\Rightarrow I,K$ đối xứng nhau qua $O$