Đáp án:

a, BC = 20 cm ; AM= 10 cm

Câu b và c đã chứng minh

Giải thích các bước giải:

a, ΔABC vuông tại A có: $AB^{2}$  + $AC^{2}$  = $BC^{2}$ ⇒ $12^{2}$  + $16^{2}$ = $BC^{2}$   

⇒ $BC^{2}$  = 400 ⇒ BC = 20( cm)

ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

⇒ AM = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{20}{2}$  = 10 (cm)

b,  Ta có: HE ⊥ AB ⇒  $\widehat{AEH}$ = $90^{o}$

              HF ⊥ AC ⇒ $\widehat{AFH}$ = $90^{o}$

Tứ giác AEHF có $\widehat{AEH}$ = $\widehat{AFH}$ = $\widehat{EAF}$ = $90^{o}$ ⇒ AEHF là hình chữ nhật mà AH và EF là hai đường chéo ⇒ AH = EF ( đpcm)

c, Δ HEB vuông tại E ⇒ $HE^{2}$  + $BE^{2}$  = $BH^{2}$

   Δ HFC vuông tại F ⇒ $HF^{2}$  + $CF^{2}$  = $HC^{2}$

   Δ AHF vuông tại F ⇒ $AF^{2}$  + $HF^{2}$  = $AH^{2}$ mà AF = HE ( vì AEHF là hình chữ nhật)

  ⇒ $HE^{2}$  + $HF^{2}$  = $AH^{2}$

   Δ AHB vuông tại F ⇒ $AH^{2}$  + $BH^{2}$  = $AB^{2}$

   Δ AHC vuông tại F ⇒ $AH^{2}$  + $CH^{2}$  = $AC^{2}$

  Δ ABC vuông tại A ⇒ $AB^{2}$  + $AC^{2}$  = $BC^{2}$

⇒ $AH^{2}$  + $CH^{2}$ + $AH^{2}$  + $BH^{2}$ = $BC^{2}$

⇒ 2$AH^{2}$ + $HF^{2}$  + $CF^{2}$ + $HE^{2}$  + $BE^{2}$  = $BC^{2}$

⇒ 2$AH^{2}$ + $AH^{2}$  + $CF^{2}$ + $BE^{2}$  = $BC^{2}$

⇒ $BC^{2}$ = 3$AH^{2}$ + $BE^{2}$ + $CF^{2}$ (đpcm)