a) Ta có:

$\widehat{BAC}=60^o$

$\Rightarrow BC = AB.\tan60^o = a\sqrt3;\, AC = \dfrac{AB}{\cos60^o}=2a$

Ta lại có:

$SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp AC$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$SC^2 = SA^2 + AC^2$

$\Rightarrow AC =\sqrt{SC^2 - AC^2}=\sqrt{8a^2 - 4a^2}= 2a$

Do đó:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SA =\dfrac{1}{3}.a.a\sqrt3.2a = \dfrac{2a^3\sqrt3}{3}$

b) Ta có:

$OA = OC$

$IA = IB$

$\Rightarrow OI//BC$

$\Rightarrow OI//(SBC)$

$\Rightarrow d(O;(SBC))=d(I;(SBC))$

Mặt khác:

$CB\perp AB$

$SA\perp CB\quad (SA\perp (ABCD))$

$\Rightarrow CB\perp (SAB)$

Từ $A$ kẻ $AK\perp SB$

$\Rightarrow CB\perp AK$

$\Rightarrow AK\perp (SCB)$

$\Rightarrow AK = d(A;(SCB))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:

$\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}$

$\Rightarrow AK =\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}}=\dfrac{a.2a}{\sqrt{a^2 + 4a^2}}=\dfrac{2a\sqrt5}{5}$

Từ $I$ kẻ $IH\perp SB$

$\Rightarrow IH//AK$

$\Rightarrow IH=d(I;(SBC))$

Ta lại có: $IA = IB=\dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow IH =\dfrac{1}{2}AK$

$\Rightarrow IH = \dfrac{a\sqrt5}{5}$

Vậy $d(O;(SBC))=\dfrac{a\sqrt5}{5}$