Đáp án + Giải thích các bước giải:

 Bài 1:
a) $\dfrac{x - 3}{5} + \dfrac{1 + 2x}{3} = 6$

$\Leftrightarrow \dfrac{3(x - 3)}{15} + \dfrac{5(1 + 2x)}{15} = \dfrac{90}{15}$

$\Leftrightarrow \dfrac{3x - 9}{15} + \dfrac{5 + 10x}{15} = \dfrac{90}{15}$

$\Leftrightarrow \dfrac{3x - 9 + 5 + 10x}{15} = \dfrac{90}{15}$

$\Leftrightarrow 13x - 4 = 90$

$\Leftrightarrow 13x = 94$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{94}{13}$

Vậy $S = $`{94/13}`

b) $(2x - 3)(x^2 + 1) = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}2x-3=0\\x^2+1=0\end{array} \right.\) 

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}2x=3\\x^2=-1(\text{vô lý})\end{array} \right.\) 

$\Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$

Vậy $S = $`{3/2}`

c) $\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{3x - 11}{(x + 1)(x - 2)}(x \ne -1; x \ne 2)$

$\Leftrightarrow \dfrac{2(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} - \dfrac{x + 1}{(x + 1)(x - 2)} = \dfrac{3x - 11}{(x + 1)(x - 2)}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2x - 4 - x - 1}{(x + 1)(x - 2)} = \dfrac{3x - 11}{(x + 1)(x - 2)}$

$\Leftrightarrow x - 5 = 3x - 11$

$\Leftrightarrow x - 3x = 5 - 11$

$\Leftrightarrow -2x = -6$

$\Leftrightarrow x = 3(tm)$

Vậy $S = $`{3}`

Bài 2:
Gọi $x$ là số tự nhiên cần tìm $(x \in \mathbb{N}, x$ `\cancel\vdots 2, x \vdots 5`$)$

Vì $x$ là số tự nhiên lẻ, chia hết cho $5 \Rightarrow x$ có tận cùng là $5$

$\Rightarrow \dfrac{x - 5}{10}$ là chữ số hàng chục của $x$

Vì hiệu giữa số tự nhiên cần tìm và chữ số hàng chục của nó là $86$ nên ta có:
$x - \dfrac{x - 5}{10} = 86$

$\Leftrightarrow \dfrac{10x}{10} - \dfrac{x - 5}{10} = 86$

$\Leftrightarrow \dfrac{10x - x + 5}{10} = 86$

$\Leftrightarrow 9x + 5 = 860$

$\Leftrightarrow 9x = 855$
$\Leftrightarrow x = 95(n)$
Vậy số tự nhiên cần tìm là $95$

Bài 3:

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$(định lý Pytago)

$\Rightarrow 6^2 + 8^2 = BC^2$

$\Rightarrow BC^2 = 36 + 64$

$\Rightarrow BC^2 = 100$

$\Rightarrow BC = 10(cm)$

Ta có: $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{CD}$

$\Rightarrow \dfrac{6}{10} = \dfrac{AD}{AC - AD}$

$\Rightarrow 6(8 - AD) = 10AD$

$\Rightarrow 48 - 6AD = 10AD$

$\Rightarrow 16AD = 48$

$\Rightarrow AD = 3(cm)$

$\Rightarrow CD =AC - AD = 8 - 3 = 5(cm)$

b) Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ và $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{AHB} = \widehat{BAC} (= 90^o) \\ \widehat{ABH}\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta ABH \backsim \Delta CBA(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{BA}$

Ta có: $BI$ là đường phân giác của $\widehat{ABH}(BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}, I \in BD)$

$\Rightarrow \dfrac{BH}{BA} = \dfrac{IH}{IA}$

Ta có:
$\begin {cases} \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{BA} (cmt) \\ \dfrac{BH}{BA} = \dfrac{IH}{IA} (cmt) \\ \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} (cmt) \end {cases}$

$\Rightarrow \dfrac{IH}{IA} = \dfrac{AD}{DC}$

c) Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ và $\Delta HBI$ vuông tại $H$, ta có:
$\begin {cases} \widehat{BAD} = \widehat{IHB} (= 90^o) \\ \widehat{ABD} = \widehat{IBH} (BI \text{ là tia phân giác của } \widehat{ABH}) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta HBI(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BD}{BI}$

$\Rightarrow AB . BI = BD . HB$

Ta có:
$\begin {cases} \widehat{BIH} + \widehat{IBH} = 90^o (2\text{ góc nhọn phụ nhau trong } \Delta IBH \text{ vuông tại } H) \\ \widehat{ADB} + \widehat{ABD} = 90^o (2\text{ góc nhọn phụ nhau trong } \Delta ABD \text{ vuông tại } A) \\ \widehat{IBH} = \widehat{ABD} (BI \text{ là tia phân giác của } \widehat{ABH}) \\ \widehat{BIH} = \widehat{AID} (2\text{ góc đối đinh}) \end {cases}$ 

$\Rightarrow \widehat{ADB} = \widehat{AID}$

$\Rightarrow \Delta AID$ cân tại $A$(2 góc kề 1 đáy bằng nhau)

Bài 4:
$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 15 = 2$

$\Leftrightarrow x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$

Mà $(x - 2)^2 \ge 0, (y - 3)^2 \ge 0$

$\Rightarrow (x - 2)^2 + (y - 3)^2 \ge 0$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x - 2 = 0; y - 3 = 0$

$\Rightarrow x = 2; y = 3$

Vậy $x = 2; y = 3$