Đáp án + Giải thích các bước giải:

 a) Xét $\Delta BMC$ và $\Delta DMA$, ta có:
$\begin {cases} AM = CM (M\text{ là trung điểm của } BC \\ \widehat{BMC} = \widehat{DMA} (2\text{góc đối đỉnh}) \\ \widehat{DAM} = \widehat{BCM}(slt, AD // BC)\end {cases}$

$\Rightarrow \Delta BMC = \Delta DMA(g - c - g)$

$\Rightarrow MC = MD$(2 cạnh tương ứng)

b) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta CMD$, ta có:

$\begin {cases} AM = CM (gt) \\ BM = DM(\Delta BMC = \Delta DMA) \\ \widehat{AMB} = \widehat{CMD}(2\text{ góc đối đỉnh} \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta AMB = \Delta CMD(g - c - g)$

$\Rightarrow AB = CD$(2 cạnh tương ứng)

Mà $AB = AC(gt)$

$\Rightarrow AC = CD$

$\Rightarrow \Delta ACD$ cân tại $C$

c) Ta có:
$\widehat{ABM} = \widehat{CDM}(\Delta ABM = \Delta CDM)$

Mà $\widehat{ABM}$ và $\widehat{CDM}$ ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AB // CD$

Ta có:
$\begin {cases} \widehat{BCE} = \widehat{BAC} + \widehat{ABC}(\text{tính chất góc ngoài của tam giác}) \\ \widehat{BCD} = \widehat{ACB} + \widehat{ACD} \\ \widehat{BAC} = \widehat{ACD} (slt, AB // CD) \\ \widehat{ABC} = \widehat{ACB}(\Delta ABC\text{ cân tại A}) \end {cases}$

$\Rightarrow \widehat{BCD} = \widehat{BCE}$

Ta có:
$\begin {cases} AB = CD (cmt) \\ AB = AC (gt) \\ AC = CE (gt) \end {cases}$

$\Rightarrow CD = CE$

Xét $\Delta BDC$ và $\Delta BEC$, ta có:

$\begin {cases} BC \text{ chung} \\ CD = CE (cmt) \\ \widehat{BCD} = \widehat{BCE} \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta BDC = \Delta BEC(c - g - c)$
$\Rightarrow BD = BE$(2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \Delta BDE$ cân tại $B$

d) Gọi $F$ là giao điểm của $BC$ và $DE$

Ta có:

$\Delta BDC = \Delta BEC(cmt)$

$\Rightarrow \widehat{DBC} = \widehat{EBC}$(2 góc tương ứng)

Xét $\Delta BDF$ và $\Delta BEF$, ta có:
$\begin {cases} BF \text{ chung} \\ BD = BE(cmt) \\ \widehat{DBF} = \widehat{EBF} (cmt) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta BDF = \Delta BEF$

$\Rightarrow DF = EF$(2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $ED$

$\Rightarrow BF$ là đường trung tuyến thứ nhất $\Delta BDE$

Ta có:
$MB = MD (cmt)$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $BD$

$\Rightarrow EM$ là đường trung tuyến thứ hai của $\Delta BDE$
Xét $\Delta BDE$, ta có:

$\begin {cases} BF \text{ là đường trung tuyến thứ nhất của } \Delta BDE(cmt) \\ EM \text{ là đường trung tuyến thứ hai của } \Delta BDE(cmt) \\ BF \text{ cắt } EM \text{ tại } C \end {cases}$

$\Rightarrow C$ là trọng tâm của $\Delta BDE$

$\Rightarrow DC$ đi qua trung điểm của $BE$