Ta có: $ADFE$ là hình bình hành: góc$ADF$ = góc$AEF$ (2 góc đối)

Mà góc $ADF+góc FDB= gócADB=$$60^{0}$ 

      góc$AEF+góc FEC=góc AEC=$$60^{0}$ 

Nên góc FDB=góc FEC

Xét $ΔBDF$ và $ΔEFC$

$BD=EF$ (cùng bằng $AD$)

Góc FDB=góc FEC (cmt)

$DF=EC$ (cùng bằng AE)

$⇒$$ΔBDF=ΔEFC$$(c.g.c)$

$⇒BF=FC$ (2 cạnh tương ứng)

$⇒ΔBFC$ cân tại $F$

Ta có: góc $DAE+ADF=$$180^{0}$ (2góc tcp, $AE//DF)$

$⇒$góc $BAC+$góc$BAD+$góc $CAE+$góc$ADF=$$180^{0}$ 

góc $BAC$+góc$ADF$=$180^{0}$$-góc BAD$$-góc CAE$

Mà góc $FDB$ $+$ góc $ADF$ $=$ góc $ADB$ $=$ $60^{0}$ 

Nên góc $BAC$ $=$ góc $FDB$

Xét $ΔABC$ và $ΔDBF$ có:

$AB=BD$ ($ΔABC$ đều)

$AC=DF$ (cùng bằng $AE)$

Góc $BAC$ $=$ góc $FDB$ (cmt)

$⇒$ $ΔABC$ và $ΔDBF$ $(c.g.c)$

$BF=BC$

Mà $BF=CF$ nên $BF=BC=CF$

$⇒$ $ΔFBC$ đều

Giải thích các bước giải:

Gọi M là giao điểm của AE và CF

ADFE là hình bình hành nên ^ADF = ^AEF (hai góc đối)

Suy ra ^BDF = ^FEC 

Xét 
ΔBDF và 
ΔFEC có:

       BD = FE (cùng bằng AD)

       ^BDF = ^FEC (cmt) 

      DF = EC ( cùng bằng AE)

Do đó 
ΔBDF = 
ΔFEC (c.g.c) suy ra BF = CF (1) và ^BFD = ^FCE

Mặt khác ^AMC = ^DFC (do DF // AE)

^AMC = ^MEC + ^FCE = 600 + ^FCE và ^DFC = ^BFC + ^BFD

Do đó ^BFC = 600 (2)

Từ (1) và 2) suy ra 
ΔFBC đều (đpcm)