a) Xét tam giác `AOB` có `OI` là phân giác của góc `O`.

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {AOI} = \widehat {BOI}\\
OI \bot AB \Rightarrow \widehat {AIO} = \widehat {BIO} = {90^o}\\
Xet\,\Delta OAI\,va\,\Delta OBI:\\
\widehat {AOI} = \widehat {BOI}(cmt)\\
\widehat {AIO} = \widehat {BIO} = {90^o}\\
 \Rightarrow \Delta OAI = \Delta OBI(dpcm)\\
 \Rightarrow OA = OB
\end{array}$

Xét tam giác `AOB` có: `OA=OB`(cmt)

Vậy tam giác `AOB` cân tại `O`

b)
$\begin{array}{l}
M \in Ox;N \in Oy\\
Ta có :AN = BM(gt)\\
\left\{ \begin{array}{l}
OM = OA + AN\\
ON = OB + BN
\end{array} \right.\\
Ma\,OA = OB(cmt)\\
 \Rightarrow OM = ON\\
 \Rightarrow \Delta OMN\,cân\,tại\,O
\end{array}$

$\begin{array}{l}
Gọi\,E = Om \cap MN\\
Xét\,\Delta MON\,có:\\
OE\,là\,phân\,giác\,\widehat {MON}\\
\Delta OMN\,cân\,tại\,O\\
 \Rightarrow OE \bot MN\\
Ta có :\\
\left\{ \begin{array}{l}
OE \bot MN\\
OI \bot AB\\
O,I,E\,thẳng\,hàng
\end{array} \right. \Rightarrow AB\parallel MN
\end{array}$

c)
$\begin{array}{l}
Taco:\\
\left\{ \begin{array}{l}
OH \bot OI\\
OI \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow OH\parallel AI\\
Xét\,tứ\,giác\,AHOI\,có:\\
\widehat {HOI} = \widehat {AIO} = {90^o}\\
OH\parallel AI\\
 \Rightarrow AHOI\,là\,hình\,chữ\,nhật\\
 \Rightarrow \widehat {OHA} = {90^o} \Leftrightarrow OH \bot AK\\
Co:\\
\left\{ \begin{array}{l}
OK = OB(gt)\\
OA = OB(cmt)
\end{array} \right. \Rightarrow OK = OA = OB\\
Xét\,tam\,giac\,AOK\,co:\\
OH \bot AK\\
OK = OA\\
 \Rightarrow OH\,là\,phân\,giác\,AOK(dpcm)
\end{array}$

d) Có: Tam giác `MAD` vuông tại `D`⇒`AD<AM`

Tam giác `BAK` vuông tại `A` ⇒`AK<BK`

$\begin{array}{l}
DA + DK = DA + DA + AK\\
 = 2DA + AK\\
 < 2AM + KB\\
 = 2AM + 2OB\\
 = 2BN + 2OB\\
 = 2(BN + OB) = 2ON
\end{array}$