Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $IH\perp AB=H$

$\to AB$ là tiếp tuyến của $(I,IH)$

b.Ta có $AB$ là đường kính của $(O), I\in (O)$

$\to \Delta IAB$ vuông tại $I$

Mà $IH\perp AB=H$

$\to IH^2=AH.HB$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c.Ta có: $AM,AH$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(I)$

$\to IA$ là phân giác $\widehat{MIH}$

$\to \widehat{MIH}=2\widehat{AIH}$

Tương tự $\widehat{NIH}=2\widehat{BIH}$

$\to \widehat{MIN}=\widehat{MIH}+\widehat{NIH}=2\widehat{AIH}+2\widehat{HIB}=2\widehat{AIB}=180^o$

$\to M,I,N$ thẳng hàng

$\to MN$ là đường kính của $(O)\to I$ là trung điểm $MN$

Lại có $AM\perp MI, BN\perp NI$

$\to AM//BN$

Vì $O$ là trung điểm $AB$

$\to IO$ là đường trung bình hình thang $ABNM$

$\to OI//AM, OI=\dfrac12(AM+BN)$

$\to OI\perp MN$

$\to MN$ là tiếp tuyến của $(O)$

d.Ta có $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM=AH$

Tương tự $BN=BH$

Mà $AM,BN\perp MN$

$\to S_{AMNB}=\dfrac12(AM+BN)\cdot MN=OI\cdot MN$

$\to S_{AMNB}=R\cdot MN\le R\cdot AB=2R^2$

Dấu =xảy ra khi $MN//AB\to MN=AB$

$\to HI\perp MN\to H\equiv O$

$\to I$ nằm giữa cung $AB$