Đáp án:

$A. \, x = \dfrac{2\sqrt2}{5}$

Giải thích các bước giải:

Đặt tên cái hình vẽ như ảnh đính kèm

Ta có $S_1S_2S_3S_4$ là hình vuông cạnh bằng $1$ với tâm $O$

$\Rightarrow OS_1 = \dfrac{\sqrt2}{2}$

Đáy $ABCD$ cạnh $x$, tâm $O$ và $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow OM = \dfrac{x}{2}$

$\Rightarrow S_1M = \dfrac{\sqrt2 - x}{2}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

$\Rightarrow SO =\sqrt{SM^2 - OM^2}=\sqrt{\dfrac{(\sqrt2 - x)^2}{4} - \dfrac{x^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{2- 2x\sqrt2}}{2}$

Do đó:

$V_{S_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.x^2.\dfrac{\sqrt{2- 2x\sqrt2}}{2} =\dfrac{1}{6}.x^2\sqrt{2 - 2x\sqrt2}$

$V_{\max} \Leftrightarrow x^2\sqrt{2 - 2x\sqrt2} \max$

Xét $f(x) = x^2\sqrt{2 - 2x\sqrt2}$

$f'(x) = \dfrac{2x\sqrt2 - 5x^2}{\sqrt{1 - x\sqrt2}}$

$f'(x) = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{2\sqrt2}{5}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \max f(x) = f\left(\dfrac{2\sqrt2}{5}\right) = \dfrac{8\sqrt{10}}{125}$

Vậy $x = \dfrac{2\sqrt2}{5}$