Ta có

$g'(x) = 2f(x) . f'(x)$

Xét ptrinh

$g'(x) = 0$

$\Leftrightarrow 2f(x) . f'(x) = 0$

$\Leftrightarrow f(x) = 0$ hoặc $f'(x) =0$

- TH1: $f(x) = 0$

Ta thấy $f(x) = 0$ tại $x = 0$ và $x = 3$. Do qua điểm $x = 0$ hàm ko đổi dấu nên $x = 0$ là nghiệm bội $2$ và $x = 3$ là nghiệm bội 1.

- TH2: $f'(x) = 0$

Ta thấy hso $f(x)$ có 2 điểm cực trị tại $x = 0$ và $x = 2$. Do đó $f'(x) = 0$ có 2 nghiệm là $x = 0$ có bội 1 và $x = 2$ có bội 1.

Suy ra ptrinh $g'(x) = 0$ có 3 nghiệm gồm có

- $x = 0$ là nghiệm bội 3

- $x = 2$ là nghiệm bội 1

- $x = 3$ là nghiệm bội 1.

Ta xét

$g''(x) = 2[f'(x)]^2 + 2f(x) . f''(x)$

Ta có

$g''(0) = 2[f'(0)]^2 + 2f(0) . f''(0) = 0$.

Vậy $x = 0$ ko là điểm cực trị

Ta có

$g''(2) = 2[f'(2)]^2 + 2f(2) . f''(2) = 2.0 + 2.4.f''(2) = 8f''(2)$

Do $x = 2$ là điểm cực đại nên $f''(2) < 0$, suy ra $g''(2) < 0$.

Vậy $x = 2$ là điểm cực đại của hàm $g(x)$.

Ta có

$g''(3) = 2[f'(3)]^2 + 2f(3) . f''(3) = 2[f'(3)]^2 + 2.0.f''(3) = 2[f'(3)]^2$

Do hàm $f'(x)$ nghịch biến trên $(2, +\infty)$ nên $f'(3) < f'(2) = 0$, suy ra $2[f'(3)]^2 > 0$

Vậy $g''(3) > 0$.

Do đó $x = 3$ là điểm cực tiểu của hàm $g(x)$.

Tóm lại, hàm $g(x)$ chỉ có duy nhất một điểm cực đại tại $x = 2$.
Đáp án D.