Đáp án: `31` chữ số

Giải thích các bước giải:

Ta có:

`10^30 = (10^3)^10 = 1000^10`

`2^100 = (2^10)^10 = 1024^10`

Vì `1000^10 < 1024^10`

`=> 10^30 < 2^100  (1)`

Ta có:

`2^100 = 2^31 . 2^69 = 2^31 . 2^63 . 2^6 = 2^31 . (2^9)^7 . 64 = 2^31 . 512^7 . 64`

`10^31 = 2^31 . 5^31 = 2^31 . 5^28 . 5^3 = 2^31 . (5^4)^7 . 125 = 2^31 . 625^7. 125`

Vì `2^31 . 512^7 . 64 < 2^31 . 625^7 . 125`

`=> 2^100 < 10^31  (2)`

Từ `(1)` và `(2) => 10^30 < 2^100 < 10^31`

Vậy `2^100` có `31` chữ số

Phân tích bài :

Để xét có bao nhiêu chữ số thì ta phải sử dụng số mũ với cơ số là 10 để giải quyết bài toán (`10^n` sẽ là số nhỏ nhất có n+1 chữ số, với n∈N*)

Giả sử như `10^2<2^8=256<10^3` nên `2^8` sẽ có 3 chữ số. Tức là lớn hơn số nhỏ nhất có 3 chữ số, nhưng nhỏ hơn số nhỏ nhất có 4 chữ số.

Lời giải

`2^100=1024^10>1000^10=10^30`

Ta có :

`10^31=2^31. 5^31`

`2^100=2^31. 2^69`

Ta có `5^31=5^28. 5^3=5^3. 5^4.7=125.625^7`

`2^69=2^63 .2^6=2^9.7 .2^6=64.512^7`

`-> 2^69<5^31`

`-> 2^100<10^31`

`-> 10^30<2^100<10^31`

`-> 2^100` có 31 chữ số