a) Xét đường tròn (O) có CD là dây không đi qua tâm O, I là trung điểm của CD

`=> OI ⊥ CD`

Vì AB là tiếp tuyến của (O) `=> OB ⊥ AB`

Xét tứ giác ABOI có `\hat{OBA}+\hat{OIA}=90^o + 90^o=180^o`

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

`=>` Tứ giác ABOI nội tiếp

`=>` A, B, I, O cùng nằm trên một đường tròn

b) Ta có: `\hat{D}=1/2sđ` $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp)

               `\hat{ABC}=1/2sđ` $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

`=> \hat{D}=\hat{ABC}`

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADB$ có:

      `\hat{BAD}:` chung

      `\hat{ABC}=\hat{D}` (cmt)

`=>` $\triangle ABC \backsim \triangle ADB (g.g)$

`=> (AC)/(AB) = (AB)/(AD)`

`=> AC.AD=AB^2`

c) Gọi F là giao điểm của OA và BE

`=> OA⊥BE` tại F

$\triangle OBE$ cân `(OB=OE=R)`, có OF là đường cao

`=>` OF đồng thời là đường phân giác

`=> \hat{FOB}=\hat{FOE}`

Xét $\triangle OAB$ và $\triangle OAE$ có:

       `OA`: chung

       `\hat{AOB}=\hat{AOE}` (cmt)

       `OB=OE`

`=>` $\triangle OAB = \triangle OAE (c.g.c)$

`=> \hat{OBA}=\hat{OEA}`

mà `\hat{OBA}=90^o=> \hat{OEA}=90^o`

`=> OE ⊥ AE`

`=>` AE là tiếp tuyến của (O;R)

Xét tứ giác OBAE có `\hat{OBA}+\hat{OEA}=90^o + 90^o=180^o`

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

`=>` Tứ giác OBAE nội tiếp

`=>` A, B, E, O cùng nằm trên một đường tròn

Xét đường tròn đi qua 5 điểm O, A, B, E, I có:

+)   `\hat{BEA} = \hat{BIA}` (cùng chắn cung AB)   (1)

+)   `\hat{AIE} = 1/2sđ` $\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp)

       `\hat{BIA}=1/2 sđ` $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp)

mà `AE=AB` (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

`=>sđ` $\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}=sđ$ $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$

`=> \hat{AIE}=\hat{BIA}`

`=> \hat{BIA}=1/2 \hat{BIE}`    (2)

Từ (1) và (2) `=> \hat{BEA} = 1/2 \hat{BIE}`