a) Ta có:

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$

$\to \dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{c^3}{d^3}$

$\to \dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{c^3}{d^3} =\dfrac{a^3 + c^3}{b^3 + d^3}$

Mặt khác:

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$

$\to \dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{c^2}{d^2}$

$\to \dfrac{a^2c}{b^2d}=\dfrac{c^3}{d^3}$

Do đó:

$\dfrac{a^2c}{b^2d} = \dfrac{a^3 + c^3}{b^3 + d^3}$

b) $|x - 2010| + |x - 2011| =\dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{4}$

+) Với $x \geq 2011$ ta được:

$x - 2010 + x - 2011 = -\dfrac{1}{12}$

$\Leftrightarrow 2x - 4021 = -\dfrac{1}{12}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{48251}{24}$

+) Với $2010 < x < 2011$ ta được:

$x - 2010 + 2011 - x = -\dfrac{1}{12}$

$\Leftrightarrow 1 = -\dfrac{1}{12}$ (vô nghiệm)

+) Với $x \leq 2010$ ta được:

$2010 - x + 2011 - x = -\dfrac{1}{12}$

$\Leftrightarrow 4021 - 2x = -\dfrac{1}{12}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{48253}{24}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{48251}{24}$ hoặc $x = \dfrac{48253}{24}$