Giải thích các bước giải:

O là trung điểm của BC ⇒ OB = OC

O là trung điểm của HD ⇒ OH = OD

a, Xét ΔOCH và ΔOBD có:

OC = OB; OH = OD; $\widehat{COH}$ = $\widehat{BOD}$ (đối đỉnh)

⇒ ΔOCH = ΔOBD (c.g.c) (đpcm)

⇒ $\widehat{OCH}$ = $\widehat{OBD}$ ⇒ CH ║ BD

Mà CH ⊥ AB ⇒ BD ⊥ AB (đpcm)

b, ΔABM vuông tại M nên $\widehat{ABM}$ + $\widehat{BAC}$ = $90^{o}$

ΔACN vuông tại N nên $\widehat{ACN}$ + $\widehat{BAC}$ = $90^{o}$

⇒ $\widehat{ABM}$ = $\widehat{ACN}$ (đpcm)

c, Để BM = CN thì ΔABM = ΔACN ⇔ AB = AC ⇔ ΔABC cân tại A

d, Chứng minh tương tự câu a, ta có ΔBOH = ΔCOD, từ đó suy ra BH ║ CD

Tứ giác BECF có BE ║ CF (BH ║ CD) và BE = CF (gt)

⇒ BECF là hình bình hành

⇒ 2 đường chéo BC, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mặt khác ta có O là trung điểm của HD và cũng là trung điểm của BC

⇒ BC, HD, EF cùng đi qua 1 điểm (điểm O) (đpcm)