52

(AE // BC) (vì (AD // BC))

(AE = BC) (cùng bằng (AD))

nên (ACBE) là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

Suy ra: (BE // AC, BE = AC)       (1)

Tương tự (BF // AC, BF = AC)    (2)

(BE) và (BF) cùng song song với (AC) và cùng đi qua điểm (B) nên theo tiên đề Ơ -clit (BE) trùng (BF), hay (B,E,F) thẳng hàng.

Từ (1) và (2) ( BE = BF) do đó (B) là trung điểm của (EF).

Vậy (E) đối xứng với (F) qua (B)

53

Ta có (MD // AE) (vì (MD // AB))

(ME // AD) (vì (ME // AC))

Do đó (AEMD) là hình bình hành theo định nghĩa hình bình hành, (I) là trung điểm của (DE) nên (I) là giao điểm của hai đường chéo (DE) và (AM) và (I) cũng là trung điểm của (AM) (theo tính chất hình bình hành).

Do đó (A) đối xứng với (M) qua (I).

54

A đối xưng với B qua Ox (gt)và O nằm trên Ox (gt)

⇒ OA đối xứng với OB qua Ox

 ⇒  OA=OB.  (1) (tính chất đối xứng)

⇒ΔAOB cân tại O (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

⇒ O^1=O^2   (3) (tính chất tam giác cân)

A đối xứng với C qua Oy (gt) và O nằm trên Oy (gt)

⇒ OA đối xứng với OC qua Oy ⇒ OA=OC           (2)

⇒ΔAOC cân tại O (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

⇒ O^3=O^4    (4) (tính chất tam giác cân)

Từ (1) và (2) ⇒ OB=OC           (*)

Từ (3) và (4) ⇒ O^1+O^2+O^3+O^4=2(O^2+O^3)=2.900=1800 

Do đó B,O,C thẳng hàng   (**)

Từ (*) và (**) ⇒ B đối xứng với C qua O.

55

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

⇒AB//DC (tính chất hình bình hành)

⇒ B1^ = D1^ (so le trong)

Xét ΔBOM và ΔDON có:

 B1^ = D1^ (cmt)

 BO=DO (tính chất hình bình hành)

 O1^ = O2^ (đối đỉnh) 

⇒ ∆BOM=∆DON(g.c.g)

⇒ OM=ON (hai cạnh tương ứng).

⇒ O là trung điểm của MN (dấu hiệu nhận biết trung điểm)

⇒ M đối xứng với N qua O.