ĐK: $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi$

Đặt $t=\dfrac{2}{\cos x}-\cos x$

$\Leftrightarrow t^2=\dfrac{4}{\cos^2x}+\cos^2x-2.\dfrac{2}{\cos x}.\cos x$

$\Leftrightarrow \dfrac{4}{\cos^2x}+\cos^2x=t^2+4$

Thay vào phương trình:

$2(t^2+4)+9t-1=0$

$\Leftrightarrow 2t^2+9t+7=0$

$\Leftrightarrow t=-1$, $t=-3,5$

$+) t=-1\Rightarrow 2-\cos^2x=-\cos x$

$\Leftrightarrow \cos^2x-\cos x-2=0$

$\Leftrightarrow \cos x=2$ (Loại), $\cos x=-1$

$\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi$

+) $t=-3,5\Rightarrow 2-\cos^2x=-3,5\cos x$

$\Leftrightarrow \cos^2x-3,5\cos x-2=0$ (Tương tự)

Đáp án:

Phương trình có các họ nghiệm là $x = x = \pi + k2\pi$ và $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ với $k \in\Bbb Z$

Giải thích các bước giải:

$2\left(\cos^2x +\dfrac{4}{\cos^2x}\right) + 9\left(\dfrac{2}{\cos x}-\cos x\right) - 1 = 0$

$ĐKXĐ:\, x \ne \dfrac{\pi}{2}+n\pi$

Đặt $t = \left(\dfrac{2}{\cos x}-\cos x\right)$

$\Rightarrow t^2 = \cos^2x +\dfrac{4}{\cos^2x} - 4$

$\Rightarrow t^2 + 4 = \cos^2x +\dfrac{4}{\cos^2x}$

Phương trình trở thành:

$2(t^2 + 4) + 9t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2t^2 + 9t + 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = -1\\t = -\dfrac{7}{2}\end{array}\right.$

+) Với $t = -1$ ta được:

$\dfrac{2}{\cos x}-\cos x = -1$

$\Leftrightarrow \cos^2x - \cos x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos x= -1\\\cos x = 2\quad (loại)\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x = \pi + k2\pi$

+) Với $t = -\dfrac{7}{2}$ ta được:

$\dfrac{2}{\cos x}-\cos x = -\dfrac{7}{2}$

$\Leftrightarrow 2\cos^2x - 7\cos x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos x= -\dfrac{1}{2}\\\cos x = 4\quad (loại)\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$

Vậy phương trình có các họ nghiệm là $x = x = \pi + k2\pi$ và $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ với $k \in\Bbb Z$