Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AB\perp AC, HM\perp AB, HN\perp AC\to AMHN$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{AMN}=\widehat{AHN}=90^o-\widehat{NHC}=\widehat{HCN}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{MAN}=\widehat{BAC}$

$\to \Delta AMN\sim\Delta ACB(g.g)$

b.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, K$ là trung điểm $BC$

$\to KA=KB=KC=\dfrac12BC$

$\to \Delta KAC$ cân tại $K$

$\to \widehat{IAN}=\widehat{KAC}=\widehat{KCA}=\widehat{HCA}=\widehat{ACB}=\widehat{AMN}$

Mà $\widehat{ANI}=\widehat{ANM}$

$\to \Delta NAI\sim\Delta NMA(g.g)$

$\to \widehat{NIA}=\widehat{NAM}=90^o$

$\to \Delta AIM$ vuông tại $I$

c.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=25$

Vì $AH\perp BC$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12AB\cdot AC$

$\to AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=12\to BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=9, CH=BC-BH=16$

Tương tự $HM=\dfrac{HA\cdot HB}{AB}=\dfrac{36}5, HN=\dfrac{AH\cdot HC}{AC}=\dfrac{48}5$

Do $AMHN$ là hình chữ nhật

$\to AN=HM=\dfrac{36}5, AM=HN=\dfrac{48}5$

$\to MN=\sqrt{AM^2+AN^2}=12$

Lại có $\Delta AMN$ vuông tại $A, AI\perp  MN$

$\to AI\cdot MN=AM\cdot AN(=2S_{AMN})$

$\to AI=\dfrac{AM\cdot AN}{MN}=\dfrac{144}25\to MI=\sqrt{AM^2-AI^2}=\dfrac{108}{25}$

$\to S_{AIM}=\dfrac12AI\cdot MI=\dfrac{7776}{625}$