Đáp án:

$4$ nghiệm

Giải thích các bước giải:

$2cos2x+cosx=1$

$↔ 2(2cos^2x-1)+cosx=1$

$↔ 4cos^2x+cosx-3=0$

$↔ \left[ \begin{array}{l}cosx=-1\\cosx=\dfrac{3}{4}\end{array} \right.$

Dựa vào đường tròn lượng giác, ta có:

Trên $\Bigg[-\dfrac{\pi}{2};2\pi\Bigg]$, $cosx=-1$ có một nghiệm là $x=\pi$

Trên $\Bigg[-\dfrac{\pi}{2};2\pi\Bigg]$, $cosx=\dfrac{3}{4}$ có ba nghiệm, trong đó:

- Một nghiệm thuộc $\Bigg(-\dfrac{\pi}{2};0\Bigg)$, một nghiệm thuộc $\Bigg(0;\dfrac{\pi}{2}\Bigg)$ và nghiệm còn lại thuộc $\Bigg(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\Bigg)$

-------------

Nhận xét: Phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác có ưu điểm nhanh, dễ nhìn và dễ xác định nghiệm hơn so với phương pháp truyền thống là tìm nghiệm bằng giải phương trình. Phương pháp giải phương trình sẽ chỉ tính ra nghiệm xấp xỉ đối với các phương trình như: $cosx=\dfrac{3}{4}$, $cosx=\dfrac{1}{4}$... mà không phải các dạng quen thuộc như $cosx=0$, $cosx=±1$... Do vậy nên làm quen với dạng sử dụng đường tròn lượng giác để tính toán vì tính nhanh và tiện lợi của nó (Ngoài ra có thể sử dụng phương pháp vẽ đồ thị hình $\text{sin}$)