Đáp án:

$\dfrac{R}{3a} = \dfrac{1}{2}$

Giải thích các bước giải:

$SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp CD$

mà $CD\perp AD$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

$\Rightarrow CD\perp SD$

Ta có:

$\begin{cases}(SCD)\cap (ABCD) = CD\\SD\perp CD;\, SD\subset (SCD)\\AD\perp CD;\, AD\subset (ABCD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SCD);(ABCD))} = \widehat{SDA} = 45^o$

$\Rightarrow SA = AD\tan45^o = 2a$

Gọi $O= AC\cap BD$

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD=\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BD^2 = AB^2 + AD^2= a^2 + 4a^2 = 5a^2$

$\Rightarrow BD = a\sqrt5$

$\Rightarrow OA = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Từ $O$ dựng đường thẳng $d\perp (ABCD)$

$\Rightarrow d$ là trục của mặt phẳng đáy $(ABCD)$

Gọi $M$ là trung điểm $SA$

$\Rightarrow MA = \dfrac{1}{2}SA = a$

Trong mặt phẳng $(SAC)$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $d$ tại $I$

$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bánh kính $IA$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$IA^2 = MA^2 + OA^2$

$\Rightarrow IA = \sqrt{a^2 + \dfrac{5a^2}{4}} = \dfrac{3a}{2}$

$\Rightarrow R = \dfrac{3a}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{R}{3a} = \dfrac{1}{2}$