a)

Ta có:

+   $\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{3}{2}$

+   $\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{7,5}{5}=\dfrac{3}{2}$

$\to \dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{3}{2}$

$\to MN//BC$ (Định lý Ta-let đảo)

b)

Áp dụng hệ quả của định Ta-let:

$\Delta ABI$ có $MK//BI\Rightarrow \dfrac{AK}{AI}=\dfrac{MK}{BI}$

$\Delta ACI$ có $NK//CI\Rightarrow \dfrac{AK}{AI}=\dfrac{NK}{CI}$

$\to \dfrac{MK}{BI}=\dfrac{NK}{CI}$

Mà $BI=CI$ (vì $I$ là trung điểm $BC$)

Nên $MK=NK$

Do đó $K$ là trung điểm $MN$

c)

Ta có $MN//BC$ và $BN$ cắt $CM$ tại $O$

Nên $\dfrac{OM}{OC}=\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{2MK}{2CI}=\dfrac{MK}{CI}$

Xét $\Delta OMK$ và $\Delta OCI$, ta có:

+   $\dfrac{OM}{OC}=\dfrac{MK}{CI}\left( cmt \right)$

+   $\widehat{OMK}=\widehat{OCI}$ (vì $MN//BC$, hai góc so le trong)

Nên $\Delta OMK\backsim\Delta OCI\left( c.g.c \right)$

Do đó $\widehat{MOK}=\widehat{COI}$

Mà $\widehat{MOI}+\widehat{COI}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{MOK}+\widehat{MOI}=180{}^\circ $

Do đó $\widehat{KOI}=180{}^\circ $

Hay ba điểm $K,O,I$ thẳng hàng

Mà ba điểm $A,K,I$ thẳng hàng

Vậy nên ba điểm $A,O,I$ thẳng hàng