`a)`

Vì `AB////CD(g``t)`

     `IK////AB(g``t)`

`⇒IK////CD`

Hay `MI////CD`

`⇒(MI)/(CD)=(AM)/(AC)`(hệ quả định lý Ta-lét)`(1)`

Vì `IK////CD(cmt)`

Hay `MK////CD`

`⇒(MK)/(CD)=(BK)/(BC)`(hệ quả định lý Ta-lét)`(2)`

Vì `IK////AB(g``t)`

Hay `MK////AB`

`⇒(AM)/(AC)=(BK)/(BC)`(hệ quả định lý Ta-lét)`(3)`

Từ `(1),(2)` và `(3)⇒(MI)/(CD)=(MK)/(CD)`

                             `⇒MI=MK(đpcm)`

`b)`

Vì `AB////CD(g``t)`

Hay `AB////CF`

`⇒(AB)/(CF)=(BE)/(FE)`(hệ quả định lý Ta-lét)`(4)`

Vì `AB////CD(g``t)`

Hay `AB////DQ`

`⇒(AB)/(DQ)=(BP)/(PD)`(hệ quả định lý Ta-lét)`(5)`

Vì `AB////CD(g``t)`

Hay `AB////DF`

        `AB////CQ`

Xét tứ giác `ABFD` có:$\begin{cases} AB//DF(cmt)\\BF//AD(gt) \end{cases}$

`⇒` tứ giác `ABFD` là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

`⇒AB=DF`(tính chất hình bình hành)`(6)`

Xét tứ giác `ABCQ` có:$\begin{cases} AB//CQ(cmt)\\AQ//BC(gt) \end{cases}$

`⇒` tứ giác `ABCQ` là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

`⇒AB=CQ`(tính chất hình bình hành)`(7)`

Từ `(6)` và `(7)⇒DF=CQ`

                        `⇒DF+FQ=CQ+FQ`

                        `⇒DQ=CF(8)`

Từ `(4),(5),(8)⇒(BE)/(FE)=(BP)/(PD)`

`⇒PE////DF`(định lý Ta-lét đảo)

Hay `PE////CD`

Mà `IK////CD(cmt)`

`⇒PE////IK(đpcm)`

`c)`

Vì `MI=MK(cmt)`

`⇒M` là trung điểm của `IK`

`⇒MK=(IK)/2`

Vì `AB////CD(g``t)`

`⇒(BM)/(DM)=(AB)/(CD)`(hệ quả định lý Ta-lét)

`⇒(BM)/(DM)=a/b`

`⇒(BM)/(BM+DM)=a/(a+b)`

`⇒(BM)/(BD)=a/(a+b)`

Vì `MK////CD(cmt)`

`⇒(MK)/(CD)=(BM)/(BD)`(hệ quả định lý Ta-lét)

`⇒(MK)/b=a/(a+b)`

`⇒MK=(ab)/(a+b)`

`⇒(IK)/2=(ab)/(a+b)`

`⇒IK=(2ab)/(a+b)`

Vậy `IK=(2ab)/(a+b)`