1) $A = n^2 + 3n + 7$ là số chính phương

$\to n^2 + 3n + 7 = k^2 \quad (k \in \Bbb N)$

$\to 4n^2 + 12n + 28 = 4k^2$

$\to (4n^2 + 2.3.2n + 9) + 19 = (2k)^2$

$\to (2n + 3)^2 - (2k)^2 = -19$

$\to (2n + 3 - 2k)(2n + 3 + 2k) = - 19 \quad (*)$

$(*)$ là phương trình ước số của $-19$

Ta có:

$-19 = (-19).1 = (-1).19 = 19.(-1) = 1.(-19)$

Do đó:

$(*) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}2n + 3 - 2k = -19\\2n + 3 + 2k = 1 \end{cases}\\\begin{cases}2n + 3 - 2k = 19\\2n + 3 + 2k= -1\end{cases}\\\begin{cases}2n + 3 - 2k = -1\\2n + 3 + 2k = 19 \end{cases}\\\begin{cases}2n + 3 - 2k = 1\\2n + 3 + 2k= -19\end{cases}\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}n - k = -11\\n + k = -1 \end{cases}\\\begin{cases}n - k = 8\\n + k= -2\end{cases}\\\begin{cases}n - k = -2\\n + k = 8 \end{cases}\\\begin{cases}n -k = -1\\n + k= -11\end{cases}\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}n = -6\\k=5 \end{cases}\quad (loại)\\\begin{cases}n =3\\k = -5\end{cases}\quad (loại)\\\begin{cases}n =3\\k=5 \end{cases}\quad (nhận)\\\begin{cases}n=-6\\k = -5\end{cases}\quad (loại)\end{array}\right.$

Số cần tìm là $3$

2) Gọi $x,y,z$ là độ dài 3 cạnh tam giác vuông $(1 \leq x \leq y < z)$

Ta có:

$x^2 +y^2 = z^2$ (Theo Pytago)

$\Rightarrow z^2 = (x+y)^2 - 2xy$

Ta lại có:

$x + y +z = \dfrac{1}{2}xy$

$\to 2(x+y+z) = xy$

Ta được:

$z^2 = (x + y)^2 - 4(x+y+z)$

$\to z^2 + 4z = (x+y)^2 - 4(x+y)$

$\to z^2 + 4z + 4 = (x+y)^2 - 4(x+y) + 4$

$\to (z + 2)^2 = (x+ y - 2)^2$

$\to z + 2 = x + y - 2$

$\to z = x + y - 4$

Do đó:

$xy = 2(x + y + z)$

$\to xy = 2(x + y + x + y - 4)$

$\to 4x - xy + 4y -8 = 0$

$\to x(4- y) +4(y - 4) + 8 =0$

$\to (y - 4)(x - 4) = 8 \qquad (*)$

$(*)$ là phương trình ước số của $8$

Do $x \geq 1$

$\to x - 4 \geq - 3$

$\to y - 4 \geq -3$

Ta có:

$8 = 2.4 = 4.2 = 1.8 = 8.1$

$(*) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x - 4 =2\\y - 4 = 4\end{cases}\\\begin{cases}x - 4 = 4\\y - 4 = 2\end{cases}\\\begin{cases}x - 4 = 1\\y - 4 = 8\end{cases}\\\begin{cases}x - 4 = 8\\y - 4 = 1\end{cases}\end{array}\right.\\
 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x =6\\y=8\end{cases}\\\begin{cases}x =8\\y =6\end{cases}\\\begin{cases}x =5\\y =12\end{cases}\\\begin{cases}x=12\\y =5\end{cases}\end{array}\right.$

Vậy các tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông lần lượt là $6;\,8$ hoặc $5;\,12$ là các tam giác vuông cần tìm

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $n^2+3n+7=k^2 \rightarrow 4n^2+12n+28=4k^2$

$\rightarrow (2n+3)^2+19=(2k)^2 \rightarrow (2k)^2-(2n+3)^2=19$

$\rightarrow (2k-2n-3)(2k+2n+3)=19$

$\rightarrow n=3$

Mất cả buổi trưa suy nghĩ đó