a) Ta có:

$I$ đối xứng $H$ qua $AB$

$\Rightarrow AB$ là trung trực của $HI$

$\Rightarrow AB$ là phân giác $\widehat{HAI}$

$\Rightarrow \widehat{HAI}=2\widehat{HAB}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{HAK} = 2\widehat{HAC}$

Do đó:

$\widehat{HAI} + \widehat{HAK} = 2(\widehat{HAB} + \widehat{HAC}) = 2\widehat{A} = 180^o$

$\Rightarrow I, A, K$ thẳng hàng

b) Gọi $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow MA = MB = MC$

$\Rightarrow ∆MAB;\, ∆MAC$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{MBA}$ $(1)$

Ta lại có:

$AB$ là trung trực $HI$

$\Rightarrow AB$ là phân giác $\widehat{HBI}$

$\Rightarrow \widehat{HBA} = \widehat{IBA}$

Hay $\widehat{MBA} = \widehat{IBA}$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{IBA}$

$\Rightarrow BI//MA$

Chứng minh tương tự, ta được:

$CK//MA$

$\Rightarrow BI//CK\quad (//MA)$

$\Rightarrow BIKC$ là hình thang

c) Ta có:

$AB$ là trung trực $HI$

$\Rightarrow AI = AH$

$AC$ là trung trực $HK$

$\Rightarrow AK = AH$

$\Rightarrow AI + AK = 2AH$

$\Rightarrow IK = 2AH$