Đáp án:

Làm theo đồng dư nè

Xét `n = 3k`

`=> 2^n - 1 =  2^{3k}  - 1= (2^3)^k - 1 = 8^k - 1`

Dễ thấy : 

`8 ≡ 1 (mod 7)`

`=> 2^3 ≡ 1 (mod 7)`

`=> (2^3)^k ≡ 1 (mod 7)`

`=> 8^k ≡ 1 (mod 7)`

`=> 8^k - 1 ≡ 0 (mod 7)`

`=> 2^n - 1` chia hết cho 7

Xét `n = 3k + 1`

`=> 2^n - 1 = 2^{3k+1} - 1 = 8^k . 2 - 1 = 8^k . 2 -2 + 1 = 2.(8^k - 1) + 1 = 2. BS7 + 1`

=> không chia hết cho 7

Xét `n = 3k + 2`

`=> 2^n - 1 = 2^{3k+2} - 1 = 8^k . 4 - 1 = 8^k . 4 - 4 + 3 = 4.(8^k - 1) + 3 = 4. BS7 + 3`

=> Không chia hết cho 7

Vậy `n = 3k` `(k ∈ Z)`

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Xét TH1: n=3k 

`=> 2^n-1=2^{3k}-1=8^k-1=(8-1)(8^{n-1}+8^{n-2}+...+1^{k-1})  ( đặt (8^{n-1}+8^{n-2}+...+1^{k-1}=A )`

`=7A` chia hết` 7`

TH2: n=3k+1

`=> 2^n-1=2^{3k+1}-1=2^{3k}.2-2+1=2(2^{3k}-1)+1=2.7A+1`

 mà 2.7A chia hết 7 và 1 không chia hết 7 `=>` 2.7A+1 không chia hết 7

TH3: n=3k+2

`=> 2^n-1=2^{3k+2}-1=2^{3k}.4-4+3=4(2^{3k}-1)+1=4.7A+1`

 mà 4.7A chia hết 7 và 1 không chia hết 7`=>` 4.7A+1 không chia hết 7

Từ 3TH trên ta rút ra được: `2^n-1` chia hết `7 ⇔ n=3k (k ∈ N)`

Chúc bạn học tốt!