Đáp án:

a) $\triangle ADB\backsim\triangle AEC, AD.AC=AE.AB$

b) $\triangle ABC\backsim\triangle ADE$

c) $MN//DE$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ADB$ và $\triangle AEC$:

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{EAD}$: chung

$\to\triangle ADB\backsim\triangle AEC$ (g.g)

$\to\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\\\to AD.AC=AE.AB$

b)

Ta có: $AD.AC=AE.AB$ (cmt)

$\to\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADE$:

$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$ (cmt)

$\widehat{EAD}$: chung

$\to\triangle ABC\backsim\triangle ADE$ (c.g.c)

c)

Xét $\triangle ABC$:

$BD\bot AC$ (gt)

$CE\bot AB$ (gt)

H là giao điểm của BD và CE (gt)

$\to$ H là trực tâm của $\triangle ABC$

$\to AH\bot BC\\\to AF\bot BC$

Xét $\triangle AMF$ và $\triangle AFB$:

$\widehat{AMF}=\widehat{AFB}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{FAB}$: chung

$\to\triangle AMF\backsim\triangle AFB$ (g.g)

$\to\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{AF}{AB}\\\to AM.AB=AF^2$

Xét $\triangle ANF$ và $\triangle AFC$:

$\widehat{ANF}=\widehat{AFC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{FAC}$: chung

$\to\triangle ANF\backsim\triangle AFC$ (g.g)

$\to\dfrac{AN}{AF}=\dfrac{AF}{AC}\\\to AN.AC=AF^2$

$\to AM.AB=AN.AC=AF^2\\\to\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AC}{AB}$

Ta có: $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ (cmt)

$\to\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AE}{AD}$

$\to\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AE}{AD}\\\to\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{AD}{AN}$

Xét $\triangle AMN$:

$\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{AD}{AN}$ (cmt)

$\to MN//DE$ (định lý Talet đảo)