1) Xét tứ giác $ANMP$ có:

$\widehat{A} = 90^o \quad (gt)$

$\widehat{N} = 90^o \quad (MN\perp AB)$

$\widehat{P} = 90^o \quad (MP\perp AC)$

$\Rightarrow ANMP$ là hình chữ nhật

2) Xét $ΔABC$ có:

$MN//AC \quad (\perp AB)$

$BM = MC \quad (gt)$

$\Rightarrow AN = NB = \dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow MN //AC; \, MN = \dfrac{1}{2}AC$ $(1)$

Ta lại có:

$MP//AB \quad (\perp AC)$

$BM = MC \quad (gt)$

$\Rightarrow AP = PC = \dfrac{1}{2}AC$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow MN//PC; \, MN= PC$

$\Rightarrow MNPC$ là hình bình hành

Mặt khác:

$E$ là trung điểm đường chéo $MP \quad (gt)$

$\Rightarrow E$ là trung điểm đường chéo $NC$

3) Ta có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC\quad (gt)$

$\Rightarrow MA = MB = MC$

$\Rightarrow ΔMAC$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}$

mà $\widehat{MAC} = \widehat{GCA}$ (so le trong)

nên $\widehat{MCA} = \widehat{GCA}$

$\Rightarrow CA$ là phân giác của $\widehat{MCG}$

Ta lại có:

$CA\perp MG$

$\Rightarrow ΔMCG$ cân tại $C$

$\Rightarrow MP = PG$

Xét $ΔMAG$ có:

$AP\perp MG \quad (MP\perp AC)$

$MP = PG \quad (cmt)$

Do đó $ΔMAG$ cân tại $A$

$\Rightarrow MA = GA$ $(3)$

$\Rightarrow MA = MC = CG = GA$

$\Rightarrow AMCG$ là hình thoi

$\Rightarrow GA//MC$

hay $GK//BC$

Mặt khác:

$ΔMAB$ cân tại $M \quad (MA = MB)$ có:

$MN\perp AB\quad (gt)$

$\Rightarrow MN$ là phân giác $\widehat{AMB}$

$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{BMN} = \dfrac{1}{2}\widehat{AMB}$

hay $\widehat{AMK} = \widehat{BMK}$

Ta lại có:

$GK//BC \quad (cmt)$

$\Rightarrow \widehat{BMK} = \widehat{AKM}$ (so le trong)

Do đó:

$\widehat{AMK} = \widehat{AKM}$

$\Rightarrow ΔAMK$ cân tại $A$

$\Rightarrow AK = AM$ $(4)$

$(3)(4)\Rightarrow AK = AG$

hay $A$ là trung điểm $GK$

4) Ta có:

$ANMP$ là hình chữ nhật (câu a)

$\Rightarrow AO = OM$

Xét $ΔABM$ có:

$OH//AB$

$AO = OM$

$\Rightarrow BH = HM$

mà $AH\perp BM$

$\Rightarrow ΔABM$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB = AM$

$\Rightarrow AB = AM = MB$

$\Rightarrow ΔABM$ đều

$\Rightarrow \widehat{ABM} = 60^o$

hay $\widehat{ABC}= 60^o$

$\Rightarrow ABC$ là nửa tam giác đều $\widehat{B} = 60^o$